IGNOU BAG BMTC 134 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Included:

BMTC 134 2025 - English

ASSIGNMENT

Course Code: BMTC-134

BMTC-134/TMA/2025

Maximum Marks: 100

1. (a) Define an abelian group. Give an example of a non-abelian group. (You don’t need to prove that your example is a group. You have to only prove that it is non-abelian.)

(b) Define a subgroup of a group. Check whether 

is a subgroup of the the group of 2 × 3 matrices over ℂ under addition

(c) Define a semigroup. Give an example of an infinite semigroup.

(d) State Lagrange’s theorem. What are the possible orders of subgroups of a group of order 12?

(e) Let S = {1, 2, 3, 4} and ∗ be the binary operation defined by a ∗ b = a. Compute the Cayley table for (S, ∗). Is ∗ commutative? Is ∗ associative? Justify your answers.

 

2. (a) Let A be a 3 x 4 real matrix, B be a 4 × 2 real matrix and C be a 2 x 3 real matrix. Which of the following operations are defined?

(i) CA + B¹

(ii) AB + C¹

For those operations that are defined, what is the order of the resulting matrix?

(b) Let a = (125), β = (1432) ∈ Ss. Compute σ = α β-¹. Write as a product of transpositons. What is the signature of σ?

(c) If F is a field, show that U(F[x]) = F*.

(d) Let R = Z₂₀

(i) Give, with justificaiton, a nilpotent element in R.

(ii) Give, with justification, a zero divisor in R which is not nilpotent.

(iii) What is the order of U(R)?

3. (a) Let R be a ring in which a² = a for all a ∈ R. Show that a = -a and R is commutative.

(b) Define an integral domain. Give an example of an integral domain which is not a field.

(c) Calculate the following:

(i) (3x² + 4x + 1) + (3x3 + 4x² + 2x + 3) in Z₅[x].

(ii) (3x²+2x+6). (3x3+4x+5) in Z₇[x].

(d) Show that, if G is a finite group and a ∈ G, o(a) | o(G). Further, show that a°(G) = e for all a ∈ G. Deduce the Euler-Fermat theorem a(n) = 1 (mod n) for all a, n ∈ N, n ≥ 2, (a, n) = 1.

4. (a) Let   . Check whether Check whether R is a subring of M₂(R). Is R an ideal of M₂(R)? Justify your answer.

(b) Find the gcd of the polynomials x4 + 3x + 2 and x³ + 3x² + 5x + 3.

(c) If H and K are normal abelian subgroups of a group, and if H∩ K = {e}, show that HK is abelian. Will the result be still true if we remove the condition that H and K are normal? Justify your answer.

5. (a) Find the order of each of the elements in U(15). Is U (15) cyclic? Justify your answer.

(b) Let F be a field and let f(x) ∈ F[x] be irreducible in F[x]. Show that the ideal (f(x)) is a maximal ideal in F[x]. Use this to deduce that Q[x]/(x² + 6x3 +12) is a field.

(c) Let S¹ = {z ∈ C* | |z| = 1} and Un = {z ∈ C* | z" = 1} for n ∈ N. Check that U_n ⊆ S¹. Further, show that U_n ≤ S¹.

6. (a) Show that (x, 5) is not a principal ideal in Z[x].

(b) Check whether or not (3) is a maximal ideal in Z₉.

(c) Let R be a ring (not necessarily commutative) and I and J be ideal of R. Show that I ∩ J and I + J = {a + bla ∈ I, b ∈ J} are ideals of R.

7. Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counter example.

(a) Every subgroup of S₃ is normal.

(b) Every abelian group is cyclic.

(c) In a ring with unity, the sum of any two units is a unit.

(d) If a field has characteristic p, p a prime, the field is finite.

(e) If every element in group has finite order, the group is finite.

BMTC 134 2025 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: BTMC-134

सत्रीय कार्य कोड: BTMC-134/TMA/2025

अधिकतं अंकः 100

1. (क) एक आबेली समूह को परिभाषित कीजिये। एक अनबेली समूह का उदाहरण दीजिये। (आपको आपका उदाहरण समूह स्थपित करने की ज़रूरत नहीं है, अनबेली स्थापित करना पर्याप्त है ।)

(ख) एक समूह का उपसमूह परिभाषित कीजिये। जाँच कीजिये किः

             

योग के सापेक्ष  पर 2 x 3 आव्यूहों का समूह का उपसमूह है।

(ग) एक अर्ध-समूह को परिभाषित कीजिये। एक अनन्त अर्ध-समूह का उदाहरण दीजिये।

(घ) लैग्रान्ज प्रमेय बताइये। एक कोटि 12 वाली समूह की उपसमूहों की कोटियाँ क्या हो सक्ती हैं?

(ङ) मान लीजिये S = {1,2,3,4) और द्वि-आधारी सम्क्रिया ⋆ a ⋆ b = a द्वार परिभाषित है। (S, ⋆) की कैली सारणी बनाइये। क्या a सहचर्य है? क्या ⋆ क्रमविनिमेय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

2. (क) मान लीजिये A एक 3 x 4 वास्तविक आव्यूह है, B एक 4 x 2 आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन-सी संक्रियाएँ साध्य हैं?

(i) CA + B^t

(ii) AB + C^t

जो संक्रियाएँ परिभाषित है उनमें प्राप्त आव्यूह की कोटि क्या होगि ?

(ख) मान लीजिये = (125), β = (1432) ∈ S₅. σ = αβ^-1 परिकलित कीजिये। σ को पक्षान्तरण के गुणनफल के रूप में लिखिए। σ का चिह्नक क्या है?

(ग) यदि एफ एक क्षेत्र है, तो दिखाइये कि U (F[x])* =F* .

(घ) मान लीजिये :

(i) पुष्टि की साथ R में एक शून्य भावी अवयव दीजिये।

(ii) पुष्टि की साथ R में एक शून्य का भाजक दीजिये जो शून्य भावी न हो।

(iii) U(R) की कोटि क्या है?

3. (क) मान लीजिये R एक वलय है जिस्में प्रत्येक a ∈ R के लिये a² = a. दिखाइये कि a = -a और R क्रम विनिमेय है।

(ख) एक पूर्णांकीय प्रान्त को परिभषित कीजिये। एक पूर्णांकीय प्रान्त का उदाहरण दीजिये जो क्षेत्रे न हो।

(ग) निम्नलिखित को परिकलित कीजियेः

(i)

(ii) 

(घ) दिखाइये कि, यदि G एक समूह है और a ∈ G, तो o(a) | o(G). आगे दिखाइये प्रत्येक a ∈ G के लिये a°^(G) = e. ऑयलर-फर्मा प्रमेय, प्रत्येक   के लिए     भी दर्शाइये।

4. (क) मान लीजिए  जाँच कीजिए कि   का उपवलय है। क्या गुणजावली है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

(ख) बहुपद x⁴ + 3x + 2 और x³ + 3x² + 5x + 3 का gcd निकालिए।

(ग) यदि H और K एक समूह का प्रसामान्य आबेली उपसमूह हैं और H  K = {e}, तो दिखाइये कि HK आबेली है। क्या यह निष्कर्ष प्रतिबन्ध, H और K प्रसामन्य होना छहिए, हटाने पर भी सत्य होगी? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

5. (क) U (15) में प्रत्येक अवयव की कोटि निकालिए। क्या U (15) चक्रीय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

(ख) मान लीजिए F एक क्षेत्र है और f(x) ∈ F [x] F[x] में अखन्डनीय है। दिखाइए कि    एक उच्चिष्ट गुणजावली है। इस्का प्रयोग करके दिखाइए कि एक क्षेत्र है।

(ग) माना कि और , जाँच कीजिए कि । आगे दिखाइये कि

6. (क) दिखाइए कि में मुख्य गुण्जावली नहीं है।

(ख) जांच कीजिए कि , की उच्चिष्ट गुअण्जावली या नहीं।

(ग) मान लीजिए आर एक वलय है। क्रमविनिमेय होना ज़रूरि नहीं है। मान लीजिए I और J R की गुण्जावलीयाँ है। दिखाइए कि और  आर का गुअण्जावलीयाँ है।

7. निम्नलिखित दकथनों में से कौन-से कथन सत्य अओर कौन-से कथन असत्य है? अप्ने उत्तर की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रति उदाहरण द्वारा कीजिए।

(क) प्रत्येक उपसमूह प्रसमान्य है।

(ख) प्रत्येक अबेली समूह चक्रीय है।

(ग) एक तत्सम्की वलय में दो मत्रक का योग मात्रक होता है।

(घ) यदि एक क्षेत्रे का अभिलक्षणक है, अभाज्य है तो क्षेत्र परिमित होता है।

(ङ) एक समूह मे प्रयेक अवयव का कोटि परिमित है तो समूह परिमित होता है।

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