IGNOU BAM BMTE 141 SOLVED ASSIGNMENT

Included:

BMTE 141 (January 2025 - July 2025) - ENGLISH

Assignment

Course Code: BMTE-141

Assignment Code: MTE-02/TMA/2025

Maximum Marks: 100

PART - A (30 Marks)

1) i) Find the angle between the vectors √2i + 2j + 2k and i + √2j + √2k.

ii) Find the vector equation of the plane determined by the points (1,0,-1), (0, 1, 1) and (-1,1,0).

iii) Check whether W = {(x, y, z) ∈ R³ |x + y - z = 0} is a subspace of R³.

iv) Check whether the set of vectors {1 + x, x + x², 1 + x³} is a linearly independent set of vectors in P3, the vector space of polynomials of degree ≤ 3.

v) Check whether T: R² → R², defined by T(x, y) = (-y, x) is a linear transformation.

vi) If {U¹, U²} is an ordered basis of R2 and {f_₁ (v), f₂ (v)} is the corresponding dual basis find f₁ (2v₁+v₂) and f₂ (U₁-2v₂).

vii) Find the kernel of the linear transformation T: R² → R² defined by T(x, y) = (2x + 3y, 2x – 3y).

viii) Describe the linear transformation T:R² → R² such that

where B is the standard basis of R².

ix) Find the matrix of the linear transformation T: R² → R² defined by T(x, y) = (2y, x - y) with respect to the ordered basis {(0, -1), (-1,0)}.

x) Let A be a 2 x 3 matrix, B be a 3 x 4 matrix and C be a 3 x 2 matrix and D be a 3 x 4 matrix. Is AB + C^tD defined? Justify your answer.

xi) Verify Cayley-Hamilton theorem for the matrix 

xii) Check whether    is an eigenvector for the matrix   What is the corresponding eigenvalue? 

xiii) Let C[0, 1] be the inner product space of continous real valued functions on the interval [0, 1] with the inner product 

Find the inner product of the functions f(t) = 2t,g(t) = 1/ t²+5. 

xiv) Find adjoint of the linear operator T: C² → C² defined by T (z₁, z₂) = (z₂, z₁ + iz₂) with respect to the standard inner product on C².

xv) Find the signature of the quadratic form 

Part-B (40 Marks)

1) a) Let S be any non-empty set and let V(S) be the set of all real valued functions on R. Define addition on V(s) by (f+g)(x) = f(x) + g(x) and scalar multiplication by (af)(x) = af (x). Check that (V(S), +, -) is a vector space.

b) Check that B = {1, 2x + 1, (x - 1)²} is a basis for P_₂, the vector space of polynomials with real coefficients of degree ≤ 2.

2) a) Let T: R³ → R³ be a linear operator and suppose the matrix of the operator with respect to the ordered basis

 is  Find the matrix of the linear transformation with respect to the basis

b) Show that W = {(x, 4x, 3x) ∈ R²x ∈ R} is a subspace of R³. Also find a basis for subspace U of R³ which satisfies W ⊕ U = R³.

3) a) Find the eigenvalues and eigenvectors of the matrix B =  . Is the matrix diagonalisable? Justify your answer.

b) Find Adj(A) where A =  .  Hence  find A^-1.

4) a) Solve the folowing set of simultaneous equations using Cramer's rule:

x+2y+ z = 3

2x - y+2z = 1

3x+y+z=0

b) Find the minimal polynomial of the matrix

Part C (30 marks)

1) a) Let V be the vector space of all real valued functions that are twice differentiable in R and

S = {cos x, sin. x, x cos x, x sin x}.

Check that S is a linearly independent set over R. (Hint: Consider the equation

a ₀cos x + a_₁ sin x + a₂x cos x + a₃x sin x.

(Put x = 0, π, π/2,π/4, etc. and find a₁.)

b) Consider the linear operator T: C³ → C³, defined by

i) Compute T* and check whether Tis self-adjoint.

ii) Check whether T is unitary.

2) a) Let (x₁, x₂, x₃) and (y₁, y₂, y₃) represent the coordinates with respect to the bases B₁ = {(1,0,0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}, B₂ = {(1,0,0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. If    find the representation of Q in terms of  (y₁, y₂, y₃).

b) Find the orthogonal canonical reduction of the quadratic form-x2 + y2 + z² + 4xy + 4xz. Also, find its principal axes.

3) Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counterexample.

i) If W₁ and W₂ are proper subspaces of a non-zero, finite dimensional, vector space V and dim(W₁) > dim(V)/2, dim(W2) > dim(V)/2, the W₁ ∩ W₂ ≠ {0}.

ii) If Vis a vector space and S = {U1, U2,..., Un} CV, n ≥ 3, is such that v₁ ≠ v; if i ≠ j, then S is a linearly independent set.

iii) If T1, T2: V → Vare linear operators on a finite dimensional vector space Vand T1 ∘ T2 is invertible, T2 ∘ T₁ is also invertible.

iv) If an n x n square matrix, n ≥ 2 is diagonalisable then it has the same minimal polynomial and characteristic polynomial.

If T1, T2: V → Vare self adjoint operators on a finite dimensional inner product space V, then T₁ + T₂ is also a self adjoint operator.

BMTE 141 2025 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: बीएमटे-141 सत्रीय कार्य कोड: बीएमटे-141/त्मा/2025 अधिकतं अंकः 100

भाग-ए (30 अंक)

1) i) सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।. 

ii) बिंदुओं (1,0,-1), (0, 1, 1) और (-1,1,0) द्वारा निर्धारित समतल की सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये ।. 

iii) जाँच कीजिये कि की उप सम्ष्टि है या नहीं।

iv) जाँच कीजिये कि में, जो कोटि 3 य उस से कम वाले बहुपदों की सदिश स्मष्टि है, सदिशों की शमष्टि रैखिकतः स्वतंत्र है।. 

v) जाँच कीजिये कि द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है। 

vi) यदि का एक क्रमित आधार है और इस का संगत द्वैत आधार है तो और निकालिये। 

vii) रैखिक रूपांतरण की अष्टि ज्ञात कीजिये, जो ? (?, ?) = (2? + 3?, 2? − 3?) द्वारा परिभाषित है,। 

viii) उस रैखिक रूपांतरण को वर्णन कीजिये जिस् के लिये

                     

है जहाँ  के मानक आधार है।

ix) रैखिक रूपांतरण के क्रमित आधार {(0, −1), (−1, 0)} के सापेक्ष आव्यूह निकालिये, जो ? (?, ?) = (2?, ? − ?) द्वारा परिभाषित है,।. 

x) मान लीजिये कि A एक 2 x 3 आव्युह है, B एक 3 x 4 आव्यूह है, C एक 3 x 2 आव्यूह है और D एक 3 x 4 आव्यूह है। क्या AB + C^tD परिभाषित है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

xi) आव्यूह  के लिये कैली-हैल्टन प्रमेय सत्यापित कीजिये। 

xii) जाँच कीजिये कि  आव्यूह के  आइगेंसदिश है। संगत आईगेमान क्या है?

xiii) मान लीजिये कि C[0, 1] अंतराल [0, 1] पर आंतर गुणन फलन

के सापेक्ष वास्तविक मूल्यों वाले उत्पादों का प्रतिच्छेदन गुणक यौगिक है। आंतर गुणन का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

xiv) रैखिक संकारक ? ∶ ℂ² → ℂ², जो ? (z₁,z₂) = (z₂,z₁ + iz₂)  द्वारा परिभाषित है, का C² पर मानक अंतर गुणन के सापेक्ष संलग्न निकालिये। 

xv) द्विघाति समघात का चिह्नक इकालिये।

Part-B (40 Marks)

1) a) मान लीजिये कि S कोई भी एक अरिक्त समुच्चय है और V (S), सपर सभी वास्तविक मान वाले फलनों का समुच्चय है। V(S) पर योग (f+g)(x) = f(x) + g(x) द्वारा परिभषित कीजिये और आदिश गुणन ( f) (x) =  f(x) द्वारा परिभषित कीजिये। जाँच कीजिये कि V (S), +, .) एक सदिश समष्टि है।

b) जाँच कीजिये कि B = {1, 2? + 1, (? − 1)2 }, ?₂ के लिये एक आधार है जहाँ पी2 अधिक से अधिक कोटि P² वाले वास्तविक गुणाँक बहुपदों की सदिश समष्टि है।

2) a) मान लीजिये कि ? ∶ ℝ³ → ℝ³ एक रैखिक संकारक है ओर क्रमित आधार 

                           

के सापेक्ष उसका आव्यूह  है। क्रमित आधार

                          

 के सापेक्ष T का आव्यूह निकालिये।। 

b) दिखाइये कि की एक उपसमष्टि है। की उपस्मष्टि U का आधार भी ज्ञात कीजिये, जो  , को संतुष्ट करती है। 

3) a) आव्यूह  के आइगेमान और आइगेंसदिश ज्ञात कीजिये। क्या यह आव्यूह विकर्णनीय अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

b) Adj(A) ज्ञात कीजिये, जहाँ  इस से A^-1 निकालिये। 

4) a) निम्नलिखित समीकरण निकाय को क्रमर नियम से हल कीजिये:

                  

b) आव्यूह

की अल्पिष्ठ बहुपद ज्ञात कीजिये।

Part C (30 marks) 

1) a) मान लीजिये कि व, आईआर पर ऐसे सभी वास्तविक मान वाले फलनों की सदिश समष्टि है जो दो बार अवकलनीय है। जाँच कीजिए कि ऍस पर रैखिकतः स्वतंत्र है। (संकेतः समीकरण

लीजिये।  इत्यादि रखिये और a_i निकालिये।) 

b) रैखिक समीकरण टीसीसी³ लीजिये जो

? (?₁ , ?₂ , ?₃) = (?₁ − ??₂ , ??₁ − 2?₂ + ??₃ , −??₂ + ?₃) .

द्वारा परिभषित है।

i) T* परिकलित कीजिये और जाँच कीजिये कि ट स्वसंलग्न है।

ii) जाँच कीजिये कि ट ऐकिक है।

2) a) मान लीजिये कि (?₁ , ?₂ , ?₃) और (y₁, y₂, y₃) आधारों ?₁ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)},, ?₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, के राापेक्ष निर्देशांकों को निरुपित करते हैं। यदि

(?1 , ?2 , ?3) के पदों में Q को निरूपण निकालिये।

b) द्विघाति समघात −?2 + ?2 + ?2 + 4?? + 4?z का लाम्बिक विहित समानयन और इस के मुक्य अक्ष निकालिये। 

3) निम्न लिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य? अपने उत्तर की एक लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिये। 

i) यदि W₁ और W₂ एक परिमित विमा, शून्येत्तर सदिश समष्टि V की उपसमष्टियाँ हैं और

ii) यदि V एक सदिश सम्ष्टि है और एक ऐसा समुच्चय हैजिस में यदि , तो ऍस एक रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय है।

iii) यदि ?₁ , ?₂ ∶ ? → ? एक परिमित विमा ? और ?1 ∘ ?2 व्युत्क्रमणीय हैं, तो ?2 ∘ ?1 भी वव्युत्क्रमणीय है।

iv) यदि एक ? × ?, ? ≥ 2,, वर्गीय आव्यूह विकर्णनीय है, तो इस के अल्पिष्ट बहुपद और अभिलक्षणिक बहुपद बराबर है।

v) यदि ?1 , ?2 ∶ ? → ? एक परिमित विमा सदिश समष्टि ? पर स्वसंलग्न संकारक है, तो T₁ + T₂ भी स्वसंलग्न है।

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