IGNOU BMTE 144 SOLVED ASSIGNMENT

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BMTE 144: Numerical Analysis

Title Name	IGNOU BMTE 144 SOLVED ASSIGNMENT
Type	Soft Copy (E-Assignment) .pdf
University	IGNOU
Degree	BACHELOR DEGREE PROGRAMMES
Course Code	BSCG
Course Name	Bachelor of Science
Subject Code	BMTE 144
Subject Name	Numerical Analysis
Year	2026
Session	-
Language	English Medium
Assignment Code	BMTE 144/Assignment-1/2026
Product Description	Assignment of BSCG (Bachelor of Science) 2026. Latest BMTE 144 2026 Solved Assignment Solutions
Last Date of IGNOU Assignment Submission	Last Date of Submission of IGNOU BEGC-131 (BAG) 2025-26 Assignment is for January 2026 Session: 30th September, 2026 (for December 2025 Term End Exam). Semester Wise January 2025 Session: 30th March, 2026 (for June 2026 Term End Exam). July 2025 Session: 30th September, 2025 (for December 2025 Term End Exam).
Format	Ready-to-Print PDF (.soft copy)

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Included:

BMTE 144 2025 - English

ASSIGNMENT

Course Code: BMTE-144

Assignment Code: BMTE-144/TMA/2025

Maximum Marks: 100

1. Which of the following statements are true and which are false? Give a short proof or a counterexample in support of your answer:

i) The equation x³ 4x 16 = 0 has a root in the interval [3, 4].

ii) The order of convergence of the secant method is 0.62.

iii) For the system of linear equations:

5x + y + 2z = 34

4y − 3z = 12

10x − 2y + z = −4

the matrix is diagonally dominant.

iv) The numerical method:

$y_{n+1}=left(1+lambda h+frac{lambda^2 h^2}{2} ight)y_n,quadlambda>0,quad ngeq 0$

is relatively stable.

v) The method:

$x_{n+1}=frac{x_n}{2}+frac{9}{8x_n}$

converges to 1.5 for any choice of initial approximation.

2. a) Using Newton-Rapshson method, find an iterative formula to compute the reciprocal of a natural number N.

b) Calculate the nth divided difference of 1/x, on the nodal points X₀, X₁, ......., X_n.

3. a) Find the inverse of the matrix:

$A=egin{bmatrix}3&2&1\2&3&2\1&2&2end{bmatrix}$

using LU decomposition method with u₁₁ = u₂₂ = u₃₃ = 1.

b) Use secant method to determine the root of the equation cos x - xe^x= 0. Take the initial approximation as x₀ = 0, x₁ = 1 and perform two iterations of the method.

4. a) Using the data sin (0.1) = 0.09983 and sin (0.2) = 0.19867, find an approximate value of sin (0.15) by Lagrange’s interpolation. Also obtain a bound on the truncation error.

b) Use the Euler’s method to solve numerically the initial value problem:

$y'=-2xy^2,quad y(0)=1$

with h = 2.0 on the interval [0, 1].

5. a) Using Runge-Kutta fourth order method with h = 0.1, find an approximation value of y(0.1) for the initial value problem:

$y'=xy+y^2,quad y(0)=1.$

b) Evaluate the integral:

$int_{0.2}^{1.4}(sin x-log_e x+e^x),dx$

using composite trapezoidal rule with h = ,2.0 compare with the exact value.

6. a) Given the data:

f(3) = 168,

f(7) = 120

and f(9) = 72

If f(k) is estimated as 138 using the Newton’s form of the interpolating polynomial, then find the value of .k

b) Solve the system of equations:

x + 2y + z = 3

3x − 2y − z4 = −2

2x + 3y − z = −6

using Gauss-Elimination method.

7. a) Using synthetic division method, check whether α = 3 is a root of the polynomial equation:

x⁴ + x³ - 13x² - x + 12 = 0

b) Find the first term of the series whose second and subsequent terms are ,0,3,8 − 0,1 using difference table.

8. a) Estimate the eigen values of the matrix:

$A=egin{bmatrix}1&2&-1\1&1&1\1&3&-1end{bmatrix}$

using the Gerschgorin bounds. Also, draw the rough sketch of the region in which the eigen values lie.

b) If

f(x) = e^ax ,

show that

$Delta^n f(x)=(e^{alpha h}-1)^n e^{alpha x}$

9. a) From the following data, calculate the population in the year 1985:

Year	Population (in ^,000)
1971	12
1981	15
1991	20
2001	27
2011	49

b) Using the third order Taylor’s series method, find the solution of the initial value problem:

$y'=x-y,quad y(0)=1$

at x = 0.1 taking h = 0.1

10. a) How many terms n be chosen in Maclaurin’s expansion for e^x with an error less than $10^{-5},-1le xle 1?$

b) Find one root of the equation:

x³ - 2x 5 = 0

in the interval [3,2] using Birge-Vieta method. Perform only one iteration.

BMTE 144 2026 - English

ASSIGNMENT

Course Code: BMTE-144
Assignment Code: BMTE-144/TMA/2026
Maximum Marks: 100

1. State whether the following statements are true or false. Give a Short proof or a counter-example in support of your answer.

a) The equation $x^3 - 4x - 16 = 0$ has not root in the interval [3, 5].

b) $\Delta E = E \Delta$ , where E is the shift operator and $\Delta$ is the forward difference operator.

c) Every $3 \times 3$ system of linear equations can be solved using the LU decomposition method.

d) For the data (2, 4), (1, 5), (3, 6) the Newton's divided difference f[x₀, x₁, x₂] is $\frac{3}{2}$ .

e) The Newton-Raphson method cannot be used to find a cube root of a positive real number.

2. a) Find the missing values in the following table:

x	0	1	2	3	4	5
y	0	2	-	18	-	90

b) Using Classical Runge-Kutta fourth order method, find an approximate value of y(1.2) for the IVP $\frac{dy}{dx} = xy$ , $y(1) = 2$ with $h = 0.2$ .

3. a) Find the approximate root of the equation $2x^3 = 3x + 6$ using Newton-Raphson method. Perform only 3 iterations with $x_0 = 2$ .

b) The roots of the quadratic equation $x^2 + ax + b = 0$ are given by $\alpha$ and $\beta$ . Show that the iteration $x_{k+1} = \frac{-(ax_k + b)}{x_k}$ will converge near $x = \alpha$ when $|\alpha| > |\beta|$ .

c) If $\delta^2 f(x_0) = C_1 h^2 f''(x_0) + C_2 h^4 f^{(4)}(x_0) + \dots$ , find the values of C₁ and C₂.

4. a) The Gauss-Seidel method is used to solve the system of equations

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \\ 5 & 4 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$

Determine the rate of convergence of the method.

b) Find the interpolating polynomial by Newton’s divided difference formula for the following data:

x	0	1	2	4
y	1	1	2	5

c) Using synthetic division method, show that 2 is a simple root of the equation

$p(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - x - 2 = 0$ .

5. a) Obtain the interpolating polynomial in simplest form which fits the following data:

x	-1	0	1	2
f(x)	3	-4	5	-6

b) Prove that $\mu^2 = 1 + \frac{\delta^2}{4}$ .

c) Determine the order of convergence of the iterative method

$$x_{n+1} = \frac{x_{n-1}f(x_n) - x_nf(x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$

for finding a simple root of the equation $f(x) = 0$ .

6. a) Determine the largest eigenvalue in magnitude and the corresponding eigenvector of the matrix $\begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ using the power method. Take (1, 0, 0)^T as the initial approximation and perform 4 iterations.

b) The method

$$x_{n+1} = \frac{1}{9} \left[ 5x_n + \frac{5N}{x_n^2} - \frac{N^2}{x_n^5} \right], n = 0, 1, 2, \dots$
where N is a positive constant, converges to N^1/3. Find the rate of convergence of the method.

7. a) Evaluate $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx$ by using trapezoidal rule with $h = 0.5$ and $h = 0.25$ . Use Romber's method to find the best value of $\pi$ .

b) Estimate the eigenvalues of the matrix

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

using the Gerschgorin bounds.

8. a) Solve the initial value problem using Euler method

$$y' = \frac{1}{x^2 - 3y}, y(3) = 2.$

Find y(3.1) taking $h = 0.1$ .

b) Set up the Gauss-Seidel iteration scheme in matrix form for solving the system of equations

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix}.$
Show that the method is convergent and hence find its rate of convergence.

c) Write the error in linear interpolation. Hence, show that

$$| \text{error} | \leq \frac{h^2}{8} \max | f''(x) |$

where $h = x_1 - x_0, x \in [x_0, x_1].$

9. a) For the following data, use Gauss backward difference method to obtain the interpolating polynomial f(x):

x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
f(x)	1.40	1.56	1.76	2.00	2.28

Hence, find the value of f(0.45).
b) The velocity of a vehicle beginning from rest is given in the following table for part of the first four. Using Simpson's $\frac{1}{3}$ rule, find the distance travelled by the vehicle in this hour:

`t=time in min.`	10	20	30	40	50	60
`v=velocity in km/hr.`	80	60	70	75	70	80

10. a) Find the inverse of the matrix $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ using Gauss-Jordan method.

b) Divide the polynomial

x⁵ - 6x⁴ + 8x³ + 8x² + 4x - 40

by (x - 3) by the synthetic division method and find the remainder.

c) Determine a unique polynomial f(x) of degree $\le 3$ such that $f(x_0) = 1$ , $f'(x_0) = 2$ , $f(x_1) = 2$ , $f'(x_1) = 3$ , where $x_1 - x_0 = h$ .

BMTE 144 2025 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: BMTE-144

सत्रीय कार्य कोड: BMTE-144/TMA/2025

अधिकतम अंक: 100

1. निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कथन असत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि के लिए एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण दीजिए :

i) समीकरण x³ - 4x-16=0 का अन्तराल [3, 4] में एक मूल है।

ii) छेदक विधि के अभिसरण की कोटि 0.62 है।

iii) रैखिक समीकरण निकाय :

5x+y+2z=34

4y-3z=12

10x-2y+z=-4

का आव्यूह विकर्णतः प्रमुख है।

iv) संख्यात्मक विधि :

$y_{n+1}=left(1+lambda h+frac{lambda^2 h^2}{2} ight)y_n,quadlambda>0,quad ngeq 0$

सापेक्षतः स्थायी है।

v) विधि $x_{n+1}=frac{x_n}{2}+frac{9}{8x_n}$ किसी भी =+ 2 8x प्रारम्भिक सन्निकट के लिए 1.5 पर अभिसरित होती है।

2. a) न्यूटन रैफ्सन विधि का प्रयोग करके, किसी प्राकृतिक संख्या N. का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए एक पुनरावृत्ति सूत्र दीजिए।

b) स्पन्द बिन्दुओं x₀ , x₁,......x_n पर 1/x का n वाँ विभाजित अन्तर परिकलित कीजिए।

a) U_₁=U₂₂ = U₃₃ = 1. के साथ LU वियोजन विधि से आव्यूह :

$A=egin{bmatrix}3&2&1\2&3&2\1&2&2end{bmatrix}$

का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

b) छेदक विधि से समीकरण cos x-xe^x = 0. का एक मूल ज्ञात कीजिए। प्रारम्भिक सन्निकटन x = 0, x₁ = 1 लीजिए और इस विधि की दो पुनरावृत्तियाँ कीजिए।

4. a) आँकड़ों sin (0.1) = 0.09983 और sin (0.2) = 0.19867 पर लग्रांज अंतर्वेशन लगाकर sin (0.15) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए। साथ ही रूंडन त्रुटि पर एक परिबंध भी प्राप्त कीजिए।

b) अंतराल [0, 1] पर h = 0.2 लेकर ऑयलर विधि से आदिमान समस्या :

y'= -2xy², y(0) = 1

को संख्यात्मक रूप से हल कीजिए।

a) h = 0.1 के साथ संगे-कुट्टा चतुर्थ कोटि विधि से आदिमान समस्या :

y'= xy + y², y(0) = 1.

के लिए y (0.1) का एक सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

b) h = 0.2 लेकर संयुक्त समलंबी नियम से समाकल :

$int_{0.2}^{1.4}(sin x-log_e x+e^x),dx$

का मान ज्ञात कीजिए और इसकी तुलना सत्य मान से कीजिए।

6. a) आँकड़ों:

f(3) = 168,

f(7) = 120

और f(9) = 72

के दिए होने पर यदि अंतर्वेशी बहुपद के न्यूटन रूप से f(k) का आकलित मान 138 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

b) समीकरण निकाय :

x+2y+z=3

3x-2y-4z=-2

2x+3y-z=-6

को गाउस-निराकरण विधि से हल कीजिए।

7. a) सांश्लेषिक विभाजन विधि का प्रयोग करके जाँच कीजिए कि a = 3 बहुपद समीकरण

x²+x³-13x²-x+12=0 का मूल है या नहीं।

b) एक अंतर सारणी का प्रयोग करके उस श्रेणी का प्रथम पद ज्ञात कीजिए जिसके द्वितीय और आगे के पद 8,3,0,-1,0 हैं।

8. a) गर्शगोरिन परिबंधों का प्रयोग करके आव्यूह :

$A=egin{bmatrix}1&2&-1\1&1&1\1&3&-1end{bmatrix}$

के आइगन मान आकलित कीजिए। साथ ही उस क्षेत्र का एक स्थूल आरेख दीजिए जिसमें आइगन मान स्थित हैं।

b) यदि :

f(x) = e^ax,

है, तो दिखाइए :

$Delta^n f(x)=(e^{ah}-1)^n e^{ax}$

9. a) निम्नलिखित आँकड़ों से वर्ष 1985 में जनसंख्या ज्ञात कीजिए :

वर्ष	जनसंख्या (हजारों में)
1971	12
1981	15
1991	20
2001	27
2011	49

b) h = 0.1 लेकर तृतीय कोटि टेलर श्रेणी विधि से x = 0.1 पर आदिमान समस्या :

y'=x-y, y(0) = 1

का हल ज्ञात कीजिए।

10. a) 10-^5,-1≤ x ≤ 1 के मैक्लॉरिन प्रसार में कितने पद nहोने चाहिए ताकि त्रुटि e^x से कम रहे?

b) बिरजे-वीटा विधि के प्रयोग से अंतराल [2,3] में समीकरण :

x²-2x-5=0

का एक मूल ज्ञात कीजिए। केवल एक ही पुनरावृत्ति दीजिए।

BMTE 144 2026 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: बी.एम.टी.ई.-144
सत्रीय कार्य कोड : बी.एम.टी.ई.-144/टी एम ए/2026
अधिकतम अंक: 100

1. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक लघु उपपत्ति या प्रत्युदाहरण दीजिए। $\text{(10)}$

क) समीकरण $x^3 - 4x - 16 = 0$ का अंतराल [3, 5] में कोई मूल नहीं है।

ख) $\Delta E = E\Delta$ , जहाँ E स्थानांतरी संकारक और $\Delta$ अग्रांतर संकारक हैं।

ग) प्रत्येक $3 \times 3$ रैखिक समीकरण निकाय LU वियोजन विधि से हल किया जा सकता है।

घ) आंकड़ों (2, 4), (1, 5), (3, 6) के लिए न्यूटन विभाजित अंतर f[x₀, x₁, x₂] का मान $\frac{3}{2}$ है।

ङ) न्यूटन-रैफसन विधि से किसी धन वास्तविक संख्या का घनमूल ज्ञात नहीं किया जा सकता है।

2. क) निम्नलिखित तालिका में लुप्त मान ज्ञात कीजिए :

Image ignou-ignouacademy-com-ignou-bmte-144-solved-assignment-html-p-solved-63456

ख) आदि मान समस्या $\frac{dy}{dx} = xy, y(1) = 2$ जहां $h = 0.2$ के लिए चिरप्रतिष्ठित चतुर्थ कोटि रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा y(1.2) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

3. क) न्यूटन-रैफसन विधि द्वारा समीकरण $2x^3 = 3x + 6$ का सन्निकट मूल ज्ञात कीजिए। $x_0 = 2$ लेकर केवल 3 पुनरावृत्तियाँ कीजिए।

ख) द्विघाती समीकरण $x^2 + ax + b = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ दिए गए हैं। दिखाइए कि पुनरावृत्ति $x_{k+1} = \frac{-(ax_k + b)}{x_k}$ $x = \alpha$ के समीप अभिसरित होगी जब $|\alpha| > |\beta|$ के मान ज्ञात कीजिए। (4)

ग) यदि $\delta^2 f(x_0) = C_1 h^2 f''(x_0) + C_2 h^4 f^{(4)}(x_0) + \dots$ , तो C₁ और C₂।

4. क) समीकरण निकाय
$$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \\ 5 & 4 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$ $
को हल करने के लिए गाउस-सीडल विधि का प्रयोग किया गया। विधि की अभिसरण दर ज्ञात कीजिए।

ख) निम्नलिखित आंकड़ों के लिए न्यूटन के विभाजित अंतर सूत्र द्वारा अंतर्वेशन बहुपद ज्ञात कीजिए :

x	0	1	2	4
y	1	1	2	5

ग) सांशलेषिक विभाजन विधि का प्रयोग करके यह दर्शाइए कि 2, समीकरण
$p(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - x - 2 = 0.$ का एक सरल मूल है। (2)

5. क) सरलतम रूप में एक ऐसा अंतर्वेशन बहुपद प्राप्त कीजिए जो निम्नलिखित आंकड़ों को आसंजित करता हो :

x	-1	0	1	2
f (x)	3	-4	5	-6

ख) सिद्ध कीजिए कि $\mu^2 = 1 + \frac{\delta^2}{4}$ ।

ग) समीकरण $f(x) = 0$ का साधारण मूल ज्ञात करने के लिए पुनरावृत्ति विधि
$$x_{n+1} = \frac{x_{n-1}f(x_n) - x_n f(x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$ $
की अभिसरण कोटि निर्धारित कीजिए।

6. क) घात विधि द्वारा निम्नलिखित आव्यूह का परिमाण में अधिकतम आइगेनमान व संगत आइगेनसदिश ज्ञात कीजिए :
$$\begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $
प्रारम्भिक सन्निकटन (1, 0, 0)^T लेकर 4 पुनरावृत्तियाँ कीजिए।

ख) विधि
$$x_{n+1} = \frac{1}{9} \left[ 5x_n + \frac{5N}{x_n^2} - \frac{N^2}{x_n^5} \right], n = 0, 1, 2, \dots$ $
जहाँ N एक धन अचर है, N^1/3 की ओर अभिसरित होती है। विधि की अभिसरण दर ज्ञात कीजिए।

7. क) $h = 0.5$ और $h = 0.25$ लेकर समलंबी नियम द्वारा $\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \,dx$ का मूल्यांकन कीजिए। रॉम्बर्ग विधि द्वारा $\pi$ का सर्वोत्तम मान ज्ञात कीजिए।

ख) गर्शगोरिन परिबंधों का प्रयोग करके आव्यूह
$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}$ $
के आइगेनमान आकलित कीजिए।

8. क) ऑयलर विधि से आदि मान समस्या को हल कीजिए
$$y' = \frac{1}{x^2 - 3y}, y(3) = 2.$ $
$h = 0.1$ लेते हुए y(3.1) ज्ञात कीजिए।

ख) निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल करने के लिए गाउस–सीडल पुनरावृत्ति विधि को आव्यूह रूप में स्थापित कीजिए :

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{x} \\ \text{y} \\ \text{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix}$ $
दिखाइए कि पुनरावृत्ति विधि अभिसरित होती है और अतः इसकी अभिसरण दर ज्ञात कीजिए। (5)

ग) रैखिक अंतर्वेशन में त्रुटि लिखिए। इस तरह, दिखाइए कि त्रुटि
$$|\text{error}| \le \frac{\text{h}^2}{8} \max | \text{f}''(\text{x}) |$ $
जहाँ $\text{h} = \text{x}_1 - \text{x}_0, \text{x} \in [\text{x}_0, \text{x}_1]$ । (3)

9. क) निम्नलिखित आंकड़ों के लिए, गाउस पश्चांतर विधि का प्रयोग करके $\text{f(x)}$ को अंतर्वेशी करने वाला बहुपद प्राप्त कीजिए :

x	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
f (x)	1.40	1.56	1.76	2.00	2.28

अतः, f(0.45) का मान ज्ञात कीजिए।

ख) विश्रामावस्था से आरंभ कर रही एक गाड़ी का वेग पहले घंटे के लिए निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। सिम्पसन का $\frac{1}{3}$ नियम लागू करके, इस घंटे में गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए :

ख) विश्रामावस्था से आरंभ कर रही एक गाड़ी का वेग पहले घंटे के लिए निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। सिम्पसन

का $\frac{1}{3}$ नियम लागू करके, इस घंटे में गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए :

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10. क) गाउस–जॉर्डन विधि से आव्यूह $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

ख) सांश्लेषिक विभाजन विधि से बहुपद
$x⁵ - 6x⁴ + 8x³ + 8x² + 4x - 40$
को (x - 3) से विभाजित कीजिए और अवशेष ज्ञात कीजिए। (2)

ग) घात $\le 3$ वाला वह अद्वितीय बहुपद f(x) निर्धारित कीजिए जिसके लिए $f(x_0) = 1, f'(x_0) = 2,$
$f(x_1) = 2, f'(x_1) = 3$ , जहाँ $x_1 - x_0 = h$ .

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