IGNOU MTE 10 SOLVED ASSIGNMENT

Included:

MTE 10 2025 - English

Assignment

Course Code: MTE-10

Assignment Code: MTE-10/TMA/2025

Maximum Marks: 100

a) The equation x³-x-1=0 has a positive root in the interval ]1, 2[. Write a fixed point iteration method and show that it converges. Starting with initial approximation x₀ = 1.5 find the root of the equation correct to three decimal places. 

b) Find an appropriate root of  accuracy by

i) Newton Raphson Method

ii) Secant Method

What conclusions can you draw from here about the two methods?

2. a) Using Maclaurin's expansion for sin x, find the approximate value of with the error 4 bound 10^-5

b) Find an approximate value of the positive real root of xe" -1 using graphical method. Use this value to find the positive real root of xe^x=1 correct to three decimal places by fixed point iteration method.

c) Using x₀=0 find an approximation to one of the zeros of x³-4x+1=0 by using Birge- Vieta Method. Perform two iterations. 3.

3.a) Solve the system of equations

using Gauss elimination method with pivoting.

b) Find the inverse of the matrix  using Gauss Jordan Method.

c) Solve the following linear system Ax=b of equations with partial pivoting

Store the multipliers and also write the pivoting vectors.

4.a) Solve the system of equations

with , by using the Gauss Jacboi and Gauss Seidel method. The exact solution of the system is  Perform the required number of iterations so that the same accuracy is obtained by both the methods. What conclusions can you draw from the results obtained? (5)

b) Starting with  find the dominant eigenvalue and corresponding eigenvector for

 the  using the power method.

5. a) The solution of the system of equations    is attempted by the Gauss Jacobi and Gauss Seidel iteration schemes. Set up the two schemes in matrix form. Will the iteration schemes converge? Justify your answer. 

b) Obtain an approximate value of  using composite Simpson' 's rule with h = 0.25 and h=0.125. Find also the improved value using Romberg integration.

c) Find the minimum number of intervals required to evaluate  dx with an  accuracy of   by using the  Trapezoidal.rule

6. a) From the following table, find the number of students who obtained less than 45 marks.

b) Calculate the third-degree Taylor polynomial about 

c) Use the polynomial in part (a) to approximate  and find a bound for the error involved.

d) Use the polynomial in part (a) to approximate

 

7.a) Using sin(0.1)=0.09983 and sin(0.2)=0.19867, find an approximate value of sin(0.15) by using Lagrange interpolation. Obtain a bound on the truncation error.

b) Consider the following data

Use Stirling's formula to approximate f(1.5) with x_o 1.6.

c) Solve the  using R-K method of 0(h⁴) with h = 0.1 and obtain the value of y(0.2). Also find the error at t=0.2, if the exact solution is y(t)-t+e.

8.a) The position f(x) of a particle moving in a line at various times x_k, is given in the following table. Estimate the velocity and acceleration of the particle at x = 1.2

b) A solid of revolution is formed by rotating about the x-axis the area bounded between x=0, x=1 and the curve given by the table

x	0	0.25	0.5	0.75	1.0
f(x)	1.0	0.9896	0.9587	0.9089	0.8415

Find the volume of the solid so formed using

i) Trapezodial rule

ii) Simpson's rule

(c) Take 10 figure logarithm to base 10 from x=300 to x=310 by unit increment. Calculate the first derivative of logx when x=310. 

9.a) For the table of values of f (x)=xe^x given by

Find f"(2.0) using the central difference formula of 0(h²) for h=0.1 and h=0.2. Calculate T.E. and actual erroг.

b) Suppose f_n denotes the value of then find the value of

(c) Use Runge-Kutta method of order four to solve y'=x+y. Start with x 1, y=0 and carry to x=1.5 with h = 0.1. 

d) Find the solution of the difference equation Also find the particular solution when y₀. =1 and y₁ =6. 

10. a)The iteration method where N is positive constant, converges to some quantity. Determine this quantity. Also find the rate of convergence of this method.

b) Determine the spacing h in a table of equally spaced values for the function

so that the quadratic interpolation in this table satisfies | error |≤10^-6

c) Determine a unique polynomial f(x) of degree ≤3 such that 

MTE 10 2025 - Hindi

पाठ्यक्रम कोड: MTE - 10

सत्रीय कार्य कोड: MTE10/TMA/2025

अधिकतम अंक: 100

1. क) समीकरण x³-x-1=0 का एक धन मूल, अंतराल ]1, 2 [ में है। नियत बिन्दु पुनरावृत्ति विधि लिखिए और यह दिखाइए कि यह अभिसरित होती है। प्रारंभिक सन्निकटन x_o = 1.5 से प्रारंभकरके समीकरण का तीन दशमलव स्थान तक की परिशुद्धता का मूल ज्ञात कीजिए।

ख) i) न्यूटन रैफ्सन विधि

ii) छेदिका विधि

से अंतराल [1, 2] में समीकरण x³+2x²-5=0 का 10^-5 तक की परिशुद्धता वाला एक उपयुक्त मूल ज्ञात कीजिए। यहां आप इन दो विधियों के संबंध में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

2. क) sin x के लिए मैकलारिन प्रसार को लागू करके त्रुटि परिबंध 10^-5 तक  का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

ख) ग्राफीय विधि से xe^x = 1 के धन वास्तविक मूल का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए। इस मान का प्रयोग करके नियत बिन्दु पुनरावृत्ति विधि से तीन दशमलव स्थान तक परिशुद्ध xe^x = 1 का धन वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

ग) x_o = 0 को एक सन्निकटन मानकर बर्ज-विएटा विधि की दो पुनरावृत्त्तियाँ करके x³ - 4x + 1 = 0 के शून्यकों (zeros) में से एक शून्यक का सन्निकटन ज्ञात कीजिए।

3. क) कीलकन के साथ गाउस विलोपन विधि लागू करके निम्नलिखित समीकरण-निकाय को हल कीजिए।

ख) गाउस-जॉर्डन विधि से आव्यूह

का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

ग) आंशिक कीलकन द्वारा निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय Ax=b का हल ज्ञात कीजिए।

गुणकों को संचित कीजिए और कीलकन सदिश भी लिखिए

4. क) x^(o) = [0 0 0 0]^T लेकर गाउस-जैकोबी और गाउस-सीडल विधि से निम्नलिखित समीकरण निकाय का हल ज्ञात कीजिए।

इस निकाय का यथातथ हल x = [1 2-1 1]^T है। अपेक्षित संख्या में पुनरावृत्तियाँ कीजिए जिससे कि दोनों विधियों से समान परिशुद्धता प्राप्त हो। प्राप्त किए गए परिणाम से आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

ख) x^(o) = [1 1 1]^T से प्रारंभ करके घात विधि द्वारा निम्नलिखित आव्यूह का प्रमुख आइगनमान और संगत आइगनसदिश ज्ञात कीजिए।

5. क) गाउस-जैकोबी और गाउस-सीडल पुनरावृत्ति योजनाओं से समीकरण निकाय  का हल प्राप्त किया गया है। आव्यूह रूप में दोनों योजनाएं स्थापित कीजिए। क्या पुनरावृत्ति योजनाएं अभिसारित होती हैं? तर्क के साथ अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

ख) h = 0.25 और h = 0.125 लेकर संयुक्त सिम्प्सन नियम लागू करके  का सन्निकट मान  प्राप्त कीजिए। रॉम्बर्ग समाकलन की सहायता से प्राप्त मान में सुधार कीजिए।

ग) समलंबी नियम की सहायता से  की परिशुद्धता तक  का मान निकालने के लिए  आवश्यक अंतरालों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।

6. क) नीचे दी गई तालिका से उन छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए जिन्होंने 45 से कम अंक प्राप्त किए हैं।

अंक	छात्रों की संख्या
30-40	31
40-50	42
50-60	51
60-70	35
70-80	31

7. क) sin(0.1) = 0.09983 और sin(0.2) = 0.19867 9867 लेकर लग्राज अंतर्वेशन विधि से sin(0.15) का एक सन्निकट मान ज्ञात कीजिए। रूंडन त्रुटि पर एक परिबंध प्राप्त कीजिए।

ख) निम्नलिखित आंकड़ों के लिए

x	1.0	1.3	1.6	1.9	2.2
f(x)	0.7651977	0.6200860	0.4554022	0.2818186	0.1103623

स्टर्लिंग सूत्र लागू करके x₀ = 1.6 के लिए f(1.5) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

ग) h = 0.1 के लिए 0(h⁴) की रूंगे कुट्टा विधि लागू करके आदि मान समस्या y' = -y + t + 1, 0 ≤ t ≤1, y(0) = 1 को हल कीजिए और y(0.2) का मान प्राप्त कीजिए। यदि यथातथ हल y(t) = t + e^-t हो तो t = 0.2 पर त्रुटि भी ज्ञात कोजिए।

8. क) विभिन्न समयों x_k पर एक रेखा में गतिमान कण की स्थिति f(x) नीचे की तालिका में दी गई है। x = 1.2 पर कण का वेग और त्वरण आकलित कीजिए।

x	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0	2.2
f(x)	2.72	3.32	4.06	4.96	6.05	7.39	9.02

ख) x = 0, x = 1 और नीचे की तालिका से प्राप्त वक्र से परिबद्ध क्षेत्र को x-अक्ष के प्रति घूर्णन कराने पर एक परिक्रमण घनाकृति प्राप्त होती है।

x	0	0.25	0.5	0.75	1.0
f(x)	1.0	0.9896	0.9587	0.9089	0.8415

इस प्रकार प्राप्त हुई घनाकृति का आयतन

i) समलंबी नियम और

ii) सिम्प्सन नियम से ज्ञात कीजिए।

ग) इकाई वृद्धि करके x = 300 से x = 310 तक आधार 10 पर 10 लघुगणक लीजिए। log₁₀ x का प्रथम अवकलज परिकलित कीजिए जबकि x = 310 हो।

9. क) f(x) = xe^x के मानों की निम्नलिखित तालिका से h = 0.1 और h = 0.2 पर 0(h²) का केन्द्रीय अंतर सूत्र लागू करके f" (2.0) ज्ञात कीजिए। रूंडन त्रुटि और वास्तविक त्रुटि परिकलित कीजिए।

x	1.8	1.9	2.0	2.1	2.2
f(x)	10.8894	12.7032	14.7781	17.1489	19.8550

ख) मान लीजिए f_n, t = t_n पर f (t) के मान को निरूपित करता है। यदि f(t) = t³ हो तो  का मान प्राप्त कीजिए। 

ग) h=0.1 के लिए x = 1, y = 0 से आरंभ करके x = 1.5 तक समीकरण y' = x + y का हल कोटि चार की रूंगे-कुट्टा विधि द्वारा प्राप्त कीजिए।

घ) अंतर समीकरण y_k+2 - 4y_k+1 + 4y_k = 0, k=0,1,... का हल ज्ञात कीजिए। y_o = 1 और y₁ = 6 के लिए विशेष हल भी ज्ञात कीजिए। (2)

10. क) पुनरावृत्ति विधि

जहां Nएक धन अचर है, एक परिमाण की ओर अभिसरित होती है। यह परिमाण ज्ञात कीजिए। इस विधि की अभिसरण दर भी ज्ञात कीजिए।

ख) फलन f(x) = (2+x)⁴, 1 ≤ x ≤ 2 के समदूरी मानों की तालिका से एक ऐसा अंतर hज्ञात कीजिए जिससे कि इस तालिका में द्वितीय घात अंतर्वेशन | त्रुटि | ≤10^-6 को संतुष्ट करता हो।

ग) घात ≤ 3 वाला वह अद्वितीय बहुपद f(x) ज्ञात कीजिए जिसके लिए

हो जहां 

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