IGNOU MTE 12 SOLVED ASSIGNMENT

Included:

MTE 12 2025 - English

Course Code: MTE-12

Assignment Code: MTE-12/TMA/2025

Maximum Marks: 100

1. State which of the following statements are true and which are false. Give reasons for your answer with a short proof or a counter example.

a) The intersection of finite number of convex sets is not convex.

b) If value of the 2× 2 matrix game  is 4, then p ≥ 4 .

c) If 10 is added to each of the entries of the cost matrix of a 3× 3 assignment problem, then the total cost of an optimal assignment for the changed cost matrix will increase by 10.

d) For maximization LP model, the simplex method is terminated when all values c_j − z_j ≥ .0

e) The dummy source or destination in a transportation problem is added to prevent solution from becoming degenerate.

2. a) Reduce the following two person zero sum game to 2× 2 game using principle of dominance. And hence solve the game.

b) Obtain the dual of the following primal LP problem:

Maximize z = x₁ - 2x₂ + 3x₃

Subject to -2x₁ + x₂ + 3x₃ = 2

                   2x + 3x₂ + 4x₃ =1

                   X₁,X₂X₂ ≥ 0

3. a) A company makes two kinds of leather belts. Belts A is high quality belt and belt B is of lower quality. The respective profits on Aand B are ₹ 4 and ₹ 3 per belt. The production of each type Arequires twice as much time as a belt. The production of each type of type B, and if all belts were of type B, the company could make 1000 belts per day. The supply of leather is sufficient for only 800 belts per day (both A and B combined). Belt Arequire a fancy buckle and only 400 buckles per day are available. There are only 700 buckles a day available for belt B. What should be the daily production of each type of belt? Formulate this problem as an LP model and solve it by the graphical method.

b) Find the initial basic feasible solution of the following transportation problem using North-West Corner method. 

90	90	100	110	200
50	70	130	85	50
75	100	100	30

4. a) Two breakfast food manufacturers ABC and XYZ are competing for an increased market share. The pay-off matrix, shown in the following table, describes the increase in market share for ABC and decrease in market share of XYZ. Determine optimal strategies for both the manufacturers and the value of the game.

b) Find all the basic feasible solutions of the following system of linear equations:

Check if any of them is degenerate solution. Justify your answer.

5. a) A department has five employees with five jobs to be performed. The time (in hours) each employee will take to perform each job is given in the following matrix. How should the jobs be allocated, one per employee, so as to minimize the total man hours?

b) For the following pay-off matrix, transform the zero-sum game into an equivalent linear programming problem:

6. a) Using matrix – minima method, find the initial basic feasible solution of the following transportation problem:

4	6	8	8	40
6	8	6	7	60
5	7	6	8	50
20	30	50	50

Hence find the optimal solution.

b) Check whether the following set is convex:

7. a) For what value of k are the following vectors linearly independent?

b) Solve the following LP problem using simplex method:

Maximize z = 6x₁ + 4x₂

Subject to 2x₁ + 3x₂ ≤ 30

                 3x₁ + 2x₂ ≤ 24

                  x₁ + x₂ ≥ 3

                  x₁ , x₂ ≥ 0

8. a) Write the LPP formulation of the following transportation problem:

					Destination					Supply
					D1			D2	D3
			O1		10			18	12	200
Source			O2		15			17	9	300
			O3		13			15	7	500
Requirement					400			200	400

b) Solve the following assignment problem for profit maximization:

	A	B	C	D
I	14	18	11	26
III	17	23	20	27
III	28	31	26	30
IV	23	3	25	28

9. a) Write the LPP formulation of the following assignment problem:

b) Solve the following game graphically:

10. a) Solve the following LPP graphically:

Maximize:

                 z= 10x₁ + 10x₂

subject to the constraints:

4x₁ + 3x₂ ≤ 12

6x₁ +18x₂ ≤ 36

X₁,X₂ ≥ 0.

b) Find all values of k for which the vectors:

are linearly independent.

MTE 12 2026 - English

Assignment
(To be done after studying all the blocks)

Course Code: MTE-12
Assignment Code: MTE-12/TMA/2026
Maximum Marks: 100

1. State which of the following statements are true and which are false. Give reasons for your answer with a short proof or a counter example.

a) The intersection of finite number of convex sets is not convex.

b) If value of the matrix game is 4, then .

c) If 10 is added to each of the entries of the cost matrix of a assignment problem, then the total cost of an optimal assignment for the changed cost matrix will increase by 10.

d) For maximization LP model, the simplex method is terminated when all values .

e) The dummy source or destination in a transportation problem is added to prevent solution from becoming degenerate.

2. a) Reduce the following two person zero sum game to game using principle of dominance. And hence solve the game.

Player B

b) Obtain the dual of the following primal LP problem:

Maximize
Subject to
$
$

3. a) A company makes two kinds of leather belts. Belts A is high quality belt and belt B is of lower quality. The respective profits on A and B are ₹ 4 and ₹ 3 per belt. The production of each type A requires twice as much time as a belt. The production of each type of type B, and if all belts were of type B, the company could make 1000 belts per day. The supply of leather is sufficient for only 800 belts per day (both A

and B combined). Belt A require a fancy buckle and only 400 buckles per day are available. There are only 700 buckles a day available for belt B. What should be the daily production of each type of belt? Formulate this problem as an LP model and solve it by the graphical method.

b) Find the initial basic feasible solution of the following transportation problem using North-West Corner method.

4. a) Two breakfast food manufacturers ABC and XYZ are competing for an increased market share. The pay-off matrix, shown in the following table, describes the increase in market share for ABC and decrease in market share of XYZ. Determine optimal strategies for both the manufacturers and the value of the game.

b) Find all the basic feasible solutions of the following system of linear equations:

$
$
$

Check if any of them is degenerate solution. Justify your answer.

5. a) A department has five employees with five jobs to be performed. The time (in hours) each employee will take to perform each job is given in the following matrix. How should the jobs be allocated, one per employee, so as to minimize the total man hours?

 

b) For the following pay-off matrix, transform the zero-sum game into an equivalent linear programming problem:

6. a) Using matrix – minima method, find the initial basic feasible solution of the following transportation problem:

Hence find the optimal solution.

b) Check whether the following set is convex:

$

7. a) For what value of k are the following vectors linearly independent?

$

b) Solve the following LP problem using simplex method:

Maximize
Subject to
$
$
$

8. a) Write the LPP formulation of the following transportation problem:

	Destination			Supply
	$D_1$	$D_2$	$D_3$
Source $O_1$	10	18	12	200
Source $O_2$	15	17	9	300
Source $O_3$	13	15	7	500
Requirement	400	200	400

b) Solve the following assignment problem for profit maximization:

9. a) Write the LPP formulation of the following assignment problem:

b) Solve the following game graphically:

10. a) Solve the following LPP graphically:

Maximize:

$

subject to the constraints:

$
$
$

b) Find all values of k for which the vectors:

$

are linearly independent.

 

 

MTE 12 2025 - Hindi

पाठ्‌यक्रम कोड: MTE-12

सत्रीय कार्य कोड: MTE-12/TMA/2025

श्रमिकसम अंक: 100

1. बताइए निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य। अपन उत्तर की पुष्टि एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रत्युदाहरण द्वारा कीजिए।

a) परिमित संख्या में अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ अवमुख नहीं होता है।

b) यदि 2×2 आव्यूह खेल  का मान 4 हो, तो p≥4.

c) यदि किसी 3×3 नियतन समस्या में लागत आव्यूह की प्रत्येक प्रविष्टि में 10 जोड़ा जाए, तो परिवर्तित लागत आव्यूह के लिए इष्टतम नियतन की कुल लागत में 10 की वृद्धि हो जाएगी।

d) किसी अधिकतमीकरण रैखिक प्रोग्रामन (LP) निदर्श में, जब सभी मान c_j, z_j, 20. हों, तो एकधा विधि सम्पन्न हो जाती है।

e) एक परिवहन समस्या में अपभ्रष्ट हल से बचने के लिए काल्पनिक (dummy) स्रोत या गंतव्य जोड़ा जाता है।

2. a) निम्नलिखित दो खिलाड़ी शून्य योग खेल को प्रमुखता सिद्धांत द्वारा 2×2 खेल में समानीत कीजिए और इस प्रकार खेल को हल कीजिए।

b) निम्नलिखित आद्य रैखिक प्रोग्रामन (LP) समस्या की द्वैती प्राप्त कीजिए :

z = x₁ - 2x₂ + 3x₃ का अधिकतमीकरण कीजिए

जबकि    -2x₁ + x₂ + 3x₃ = 2

              2x + 3x₂ + 4x₃ =1

               X₁,X₂X₂ ≥ 0

3. a) एक कम्पनी दो प्रकार की चमड़े की बेल्ट बनाती है। बेल्ट 4 उच्च कोटि की व बेल्ट B निम्न कोटि की है। दोनों बेल्टों A और B पर लाभ क्रमशः ₹4 और ₹3 प्रति बेल्ट है। 4 प्रकार की बेल्ट को बनाने में B, प्रकार की बेल्ट को बनाने के समय से दुगुना समय लगता है और यदि सभी बेल्ट केवल B, प्रकार की ही हों, तो कम्पनी प्रतिदिन 1000 बेल्ट बना पाती है। चमड़े की पूर्ति भी प्रतिदिन केवल 800 बेल्टों (दोनों A और B प्रकार की मिलाकर) के लिए ही उपलब्ध है।

A प्रकार की बेल्ट के लिए एक फैन्सी तुकमें (बकल) की आवश्यकता है और प्रतिदिन केवल 400 तुकमें (बकल) ही उपलब्ध हैं। B. प्रकार की बेल्ट के लिए प्रतिदिन 700 तुकमें ही उपलब्ध हैं। प्रत्येक प्रकार की बेल्ट का प्रतिदिन कितना उत्पादन होना चाहिए? इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामन (LP) निदर्श में सूत्रित कीजिए और इसे ग्राफीय-विधि द्वारा हल कीजिए।

b) उत्तर-पश्चिम कोना विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित परिवहन समस्या का प्रारम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए :

90	90	100	110	200
50	70	130	85	50
75	100	100	30

4. a) नाश्ता बनाने वाली दो कम्पनियाँ ABC और XYZ बाजार में अपने शेयर बढ़ाने के लिए मुकाबला कर रही हैं। निम्नलिखित सारणी में दी गई भुगतान आव्यूह में ABC के बढ़ते बाजार शेयर और XYZ. के घटते बाजार शेयर दर्शाए गए हैं। दोनों कम्पनियों के लिए इष्टतम युक्तियाँ ज्ञात कीजिए और खेल का मान भी ज्ञात कीजिए।

b) निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के निकाय के सभी आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए :

 

जाँच कीजिए कि क्या इन हलों में से कोई अपभ्रष्ट हल है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

5. a) एक विभाग में 5 जॉब करने के लिए 5 कर्मचारी हैं। प्रत्येक कर्मचारी द्वारा प्रत्येक जॉब को करने में लगने वाला समय (घंटों में) निम्नलिखित आव्यूह में दिया गया है। कुल श्रम शक्ति को न्यूनतम करने के लिए एक जॉब एक कर्मचारी को किस प्रकार आबंटित करना चाहिए?

b) निम्नलिखित भुगतान आव्यूह में दिए गए शून्य-योग खेल को एक समतुल्य रैखिक प्रोग्रामन समस्या में परिवर्तित कीजिए:

6. a) न्यूनतम आव्यूह विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित परिवहन समस्या का प्रारम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए :

4	6	8	8	40
6	8	6	7	60
5	7	6	8	50
20	30	50	50

इस प्रकार इष्टतम हल ज्ञात कीजिए।

b) जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय अवमुख है :

7. a) k के किस मान के लिए निम्नलिखित सदिश, रैखिकतः स्वतंत्र हैं?

b) निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग (एलपी) समस्या को एकल विधि का उपयोग करके हल करें:

z = 6x₁ + 4x₂ का अधिकतमीकरण कीजिए

जबकि       2x₁ + 3x₂ ≤ 30

                 3x₁ + 2x₂ ≤ 24

                  x₁ + x₂ ≥ 3

                  x₁ , x₂ ≥ 0

8. a) निम्नलिखित परिवहन समस्या की (LPP) सूचित कीजिए :

					Destination					Supply
					D1			D2	D3
			O1		10			18	12	200
Source			O2		15			17	9	300
			O3		13			15	7	500
Requirement					400			200	400

b) लाभ अधिकतमीकरण की निम्नलिखित नियतन समस्या को हल कीजिए:

	A	B	C	D
I	14	18	11	26
III	17	23	20	27
III	28	31	26	30
IV	23	3	25	28

9. a) निम्नलिखित नियतन समस्या की LPP सूचित कीजिए :

b) निम्नलिखित खेल का ग्राफीय विधि से हल कीजिए:

10. a) निम्नलिखित LPP को ग्राफीय विधि से हल कीजिए:

z= 10x₁ + 10x₂   का अधिकतमीकरण कीजिए।

जबकि :     4x₁ + 3x₂ ≤ 12

                6x₁ +18x₂ ≤ 36

                 X₁,X₂ ≥ 0.

b) k के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए सदिश

रैखिक स्वतंत्र है।

MTE 12 2026 - Hindi

सत्रीय कार्य
(सभी ब्लॉकों का अध्ययन करने के बाद किया जाना है)
पाठ्यक्रम कोड: MTE-12
सत्रीय कार्य कोड : MTE-12/TMA/2026
अधिकतम अंक: 100

1. बताइए निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रत्युदाहरण द्वारा कीजिए

a) परिमित संख्या में अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ अवमुख नहीं होता है।

b) यदि आव्यूह खेल का मान 4 हो, तो ।

c) यदि किसी नियतन समस्या में लागत आव्यूह की प्रत्येक प्रविष्टि में 10 जोड़ा जाए, तो परिवर्तित लागत आव्यूह के लिए इष्टतम नियतन की कुल लागत में 10 की वृद्धि हो जाएगी।

d) किसी अधिकतमीकरण रैखिक प्रोग्रामन (LP) निदर्श में, जब सभी मान हों, तो एकधा विधि सम्पन्न हो जाती है।

e) एक परिवहन समस्या में अपभ्रष्ट हल से बचने के लिए काल्पनिक (dummy) स्रोत या गंतव्य जोड़ा जाता है।

2. a) निम्नलिखित दो खिलाड़ी शून्य योग खेल को प्रमुखता सिद्धांत द्वारा खेल में समानीत कीजिए और इस प्रकार खेल को हल कीजिए।

बी) निम्नलिखित आद्य रैखिक प्रोग्रामन (एलपी) समस्या की द्वैती प्राप्त कीजिए :

का अधिकतमीकरण कीजिए
जबकि

3. a) एक कम्पनी दो प्रकार की चमड़े की बेल्ट बनाती है। बेल्ट A उच्च कोटि की व बेल्ट B निम्न कोटि की है। दोनों बेल्टों A और B पर लाभ क्रमशः ₹ 4 और ₹ 3 प्रति बेल्ट है। A प्रकार की बेल्ट को बनाने में B, प्रकार की बेल्ट को बनाने के समय से दुगुना समय लगता है और यदि सभी बेल्ट केवल B, प्रकार की ही हों, तो कम्पनी प्रतिदिन 1000 बेल्ट बना पाती है। चमड़े की पूर्ति भी प्रतिदिन केवल 800 बेल्टों (दोनों A और B प्रकार की मिलाकर) के लिए ही उपलब्ध है।

A प्रकार की बेल्ट के लिए एक फैन्सी तुकमें (बकल) की आवश्यकता है और प्रतिदिन केवल 400 तुकमें (बकल) ही उपलब्ध हैं। B. प्रकार की बेल्ट के लिए प्रतिदिन 700 तुकमें ही उपलब्ध हैं। प्रत्येक प्रकार की बेल्ट का प्रतिदिन कितना उत्पादन होना चाहिए? इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामन (LP) निदर्श में सूत्रित कीजिए और इसे ग्राफीय-विधि द्वारा हल कीजिए। 

b) उत्तर-पश्चिम कोना विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित परिवहन समस्या का प्रारम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए : 

4. a) नाश्ता बनाने वाली दो कम्पनियाँ ABC और XYZ बाजार में अपने शेयर बढ़ाने के लिए मुकाबला कर रही हैं। निम्नलिखित सारणी में दी गई भुगतान आव्यूह में ABC के बढ़ते बाजार शेयर और XYZ के घटते बाजार शेयर दर्शाए गए हैं। दोनों कम्पनियों के लिए इष्टतम युक्तियाँ ज्ञात कीजिए और खेल का मान भी ज्ञात कीजिए। 

b) निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के निकाय के सभी आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए :

जाँच कीजिए कि क्या इन हलों में से कोई अपभ्रष्ट हल है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

a) एक विभाग में 5 जॉब करने के लिए 5 कर्मचारी हैं। प्रत्येक कर्मचारी द्वारा प्रत्येक जॉब को करने में लगने वाला समय (घंटों में) निम्नलिखित आव्यूह में दिया गया है। कुल श्रम शक्ति को न्यूनतम करने के लिए एक जॉब एक कर्मचारी को किस प्रकार आबंटित करना चाहिए?

b) निम्नलिखित भुगतान आव्यूह में दिए गए शून्य-योग खेल को एक समतुल्य रैखिक प्रोग्रामन समस्या में परिवर्तित कीजिए :

6. a) न्यूनतम आव्यूह विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित परिवहन समस्या का प्रारम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए :

इस प्रकार इष्टतम हल ज्ञात कीजिए।

b) जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय अवमुख है :
$

7. a) k के किस मान के लिए निम्नलिखित सदिश, रैखिकता: स्वतंत्र हैं?

b) एकधा विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन (LP) समस्या को हल कीजिए :

का अधिकतमीकरण कीजिए

जबकि

8. a) निम्नलिखित परिवहन समस्या की (LLP) सूचित कीजिए :

बी) लाभ अधिकतमीकरण की निम्नलिखित नियतन समस्या को हल कीजिए :

9. a) निम्नलिखित नियतन समस्या की एलपीपी सूचित कीजिए :

b)     लिखित खेल का ग्राफीय विधि से हल कीजिए :

10. a) निम्नलिखित LPP को ग्राफीय विधि से हल कीजिए :
का अधिकतमीकरण कीजिए।

जबकि :

b) k के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए सदिश

रैखिक स्वतंत्र है।

 

 

 

 

 

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