IGNOU MTE 14 SOLVED ASSIGNMENT

MTE 14 2025 - English

Assignment (MTE-14)

Course Code: MTE-14

Assignment Code: MTE-14/TMA/2025

Maximum Marks: 100

1. a) Using dimensional analysis, show that the planets obey Kepler's third law.

b) A raindrop starts falling from the clouds at a considerable height above the surface of the earth. During the fall, the raindrop experiences retardation due to air resistance, which is directly proportional to the instantaneous speed v(t) of the drop.

i) Write the model equations

ii) Is this system static or dynamic? Why?

iii) Obtain an expression for the speed v(t).

iv) Discuss the behaviour of v(t) as the time t changes.

.c) A stone is dropped vertically from a tower of height h. At the same time, another stone is thrown vertically upwards from the base of the tower with a velocity u. What is the minimum value of u so that the two stones will meet each other mid- air?

2. a) Consider the problem of heat conduction in a one dimensional slab (0

where u(x, 1) is the temperature.

Using the separation of variable method seek the solution ) u(x,t) = T t) X (x) and find

i) equation for T (t), X (x) and corresponding conditions on X (x) to solve these equations

ii) the eigenvalues and the corresponding eigenfunctions of the bvp obtained in i) above for ) X (x)

iii) the solution u(x,t) .

b) A cup of coffee at 95°C is kept in a room at 25°C . Two minutes later, the temperature of the coffee is 70°C . When will the temperature of the coffee reach 50°C ?

3. a) A patient is given a dose Q mg/ml of a drug at regular interval of time t. The concentration C, of the drug in the blood has been shown experimentally to obey the law 

i) if the first dose is administered at t = 0 hr. then find the concentration after hr. have elapsed.

ii) assuming an instantaneous rise in concentration whenever the drug is administered, find the concentration after the second dose and T hr. have elapsed again.

iii) show that the limiting value R of the concentration for doses of Qmg/ml repeated at interval T hr. is given by the formula

b) Discuss the static stability and dynamic stability for the following demand and supply functions

4. a) A spherical cell of radius a is taking in a nutrient from its surroundings and metabolizing it. Assume that the concentration of nutrient in the cell at r = a is zero, for t > 0, and the initial concentration is C_o for r

Find the concentration C(r,t) at any instant of time. Also write the steady-state solution.

b) A lake is initially stocked with 100 fishes and 1000 zooplanktons on which the fishes prey. There is ample food for the zooplanktons. Because fishes prey on zooplanktons the population of fishes will increase at a rate proportional to the number of encounters between the species. Fishes will also die at a rate

proportional to the fish population. Also fishing is permitted at the rate of  of  the existing population at any time. Zooplanktons multiply at a rate proportional to the population and die off at a rate proportional to the number of encounters between the two species. Model this situation.

5. a) Suppose that a given population can be divided into parts, those who have a given disease and can infect others and those who do not have it, but are susceptibles. Let x be the proportion of susceptible individuals and y the proportion of infectious individuals, then x + y = 1. Assume that the disease spreads by contact between sick and well members of the population and the rate of spread is proportional to the number of such contacts. If yo is the initial proportion of infectious individuals then 

i) Formulate a mathematical model for the given problem and write a differential equation governing it.

ii) Find the equilibrium points of the equation obtained in (i).

iii) Solve the given problem. What happens to the spread of the disease as t→∞?

b) A company manufactures an item at a rate of 12 items per day (following an exponential distribution). The service time distribution is also exponential with an average of 60 minutes

i) Calculate the utilization factor.

ii) Find the average number of items in the queue.

iii) What is the probability that the queue size is greater than or equal to 5?

6. a) Return distribution of the two securities are as given in the table below:

Find the correlation coefficient of the two securities. What does this value of suggest about the shape of the curve representing the set of portfolios of the two securities?

b) Geometrically interpret the growth rate corresponding to the population growth model

where r₁ , k, k are constants, k being the carrying capacity of the population x(t) . Hence find when the growth is maximum.

a) Consider the cubic total cost function

C = 0.004q³-0.8q³ +10q+5.

Assume that the price of q is 13 per unit. Find the output which yields maximum profit.

b) Consider the pay-off table for two players as given below

Apply dominance to find the value of the game and the optimal mixed strategy for each player.

8.a) Suppose that the previous forecast was 2083 and the actual value of the variable of interest for the last period was 1975 and the oldest value of interest was 1945. Using the moving average technique based upon the most recent four observations find new forecast for the next period.

b) Let the utility function of a consumer be and that the consumers income for the period is Rs.15000. Obtain the quantities required by the consumer so that his utility function is maximized by consuming this combination.

c) There are N identical firms producing a particular commodity. The cost function for each firm producing q units is q³ + 2q² + 4q + 6 units of money. Obtain the supply function for each firm. The demand function is   . ( Find ) the equilibrium price.

9. a) The sales of a company from 1993-1998 are given below

Fit a linear curve using the least squares method. Hence find out the company's sales in 1999.

b) Let P = (w₁, w₂) be a portfolio of two securities. Find the value of w₁ and w₂ in the following situations

i) = -1 and P is risk-free.

ii) σ₁ = σ₂ and variance P is minimum.

Variance on P is minimum and = -0.5, σ₁ = 2 and σ₂ = 3.

10. a) Television sets for repair arrive at random at an average rate of 4 per day to a single repairman who takes an average of  hours to carry out each repair. It being assumed that the repair times have an exponential distribution. What is the average number of television sets in the workshop? What is the probability that an arriving set will find at least 3 sets in front of it? The repairman works for eight hours a day.

b) State the type of modeling you will use for the following problems, giving reasons for your answers. Also state four-essentials for each of these problems.

i) The economic viability of an insurance company depends critically on its ability to assess risks and decide on the premium charged to cover risks. If the premium are low, then payouts can exceed revenue collected and the company can go bankrupt. On the other hand, if they are high, the number of customers will go down, thus affecting profitability. To help the insurance company decide the premium it should charge for different risks to ensure economic

ii) Companies located on the banks of a river and producing chemicals dispose their waste by indiscriminately dumping it into the river, causing high levels of pollution. Local authorities passed new legislation with very high fines if the pollution in the river exceeded certain specified concentration limits. To find a policy for discharging the waste so as to ensure that the concentration level never exceed the specified limits.

MTE 14 2026 - English

ASSIGNMENT

Course Code: MTE-14

Assignment Code: MTE-14/TMA/2026

Maximum Marks: 100

1. a) State two real-world problems where you think that mathematical modelling is the only approach to find the solution of the problem. Give 4 essentials for each of the problems. Why do you think that there is no other scientific alternative for the treatment of these problems. 

b) Classify the following into linear and non-linear models, justifying your classification.

i) Simple harmonic motion for small amplitude of oscillation.

ii) Population growth model given by

iii) Equation for velocity v of a particle at any time t, moving with a constant acceleration a, and initial velocity u.

iv) Equation describing dynamic stability of market equilibrium price given by

$

and p_t is the price in period t. 

2. a) Characterise the following as discrete or continuous giving reasons for your answers.

i) Effects of radiation treatment on a tumour when applied for short period of time but at regular intervals.

ii) Effects of chemotherapy drugs on a tumour when introduced into a patient for a given duration of time. 

b) A particle of mass m moves on a straight line towards the centre of attraction, starting from rest at a distance a from the centre. Its velocity at a distance x from the centre varies as . Find the law of force. 

c) If a planet was suddenly stopped in its orbit, supposed circular, show that it will fall into the sun in a time which is times the period of the planet’s revolution. 

3. a) A particle moving in S.H.M has got the velocities and when it is at distance and respectively from the centre of its motion. Determine the period and the amplitude of motion. 

b) Consider the following system of equations

Find the nature of the critical point (0, 0) of the corresponding linear system. 

c) A string of length l is connected to a fixed point at one end and to a stick of mass m at the other. The stick is whirling in a circle at constant velocity v. Use dimensional analysis to find the equation of the force in the string. 

4. a) A parachutist, whose weight (actually mass) is , drops from a helicopter above the ground. She falls towards the earth under the influence of gravity. Assume that the gravitational force is constant. Assume that the force due to air resistance is proportional to the velocity of the parachutist. The proportionality constant is when the parachute is closed, and is when it is open. If the parachute does not open until after the parachutist leaves the helicopter, after how many seconds will she hit the ground? 

b) A projectile is fixed with a constant speed v at two different angles of projection and such that it gives the same range. Show that . 

5. a) Consider a one-dimensional growth c(x, t) of phytoplankton in a water mass. Formulate the model describing the dynamics of growth taking into account the following: D, its diffusion coefficient, r its rate of growth, R its mortality rate due to sinking. Fixing the area of interest as and the initial concentration of phytoplankton as , find the concentration distribution of phytoplankton in at any time t. 

b) When an aeroplane ascends from take-off to an altitude of , by how much does the gravitational attraction acting on it decrease?

6. Consider the group of individuals born in a given year () and let n(t) be the number of these individuals surviving t year later. Let x(t) be the number of members of this group who have not had smallpox by year t and are therefore still susceptible. Let be the rate at which susceptibles contract smallpox and let v be the rate at which people who contract smallpox die from the disease. Finally, let be the death rate from all causes other than smallpox. If dx / dt and dn / dt are, respectively the rates at which the number of susceptibles and entire population decline due to contraction from smallpox and also due to death from all causes then

i) Formulate the above problem by writing equations for dx / dt and dn / dt.

ii) Taking , show that z satisfies the initial value problem


iii) Find z(t) at any time t.
iv) Bernoulli estimated that . Using these values, determine the proportion of 20 years old who have not had smallpox. 

7. A monopolist sets a price 'p' per unit and the quantity demanded 'q' is given by the following relation:

Let there be a fixed cost of Rs.9 and a marginal cost of Rs.1 per unit.

i) Write the profit function of monopolist.

ii) For maximum profit, find the number 'x' of units produced. Also find the maximum profit.

iii) A potential entrant enters into the business of the monopolist. He believes that the monopolist will go on making 'x' units. Write the profit function of the entrant.

iv) For maximum profit of entrant, find the number 'z' of units produced.

v) Find the maximum profit of the entrant. Explain whether he should enter into the business or not.

vi) Find the profit made by the monopolist after the entrant has entered into business. 

8. a) Consider the cubic total cost function

Assume that the price of q is 15 per unit. Find the output which yields maximum profit. 

b) Apply dominance to find the optimum strategies of A and B from the pay-off matrix given below
 

6(2)

7(3)

4(7)

9(3)

7(1)

8(2)

c) Suppose that the previous forecast was 2090 and the actual value of the variable of interest for the period was 1985 and the oldest value of interest was 1955. Using the moving average technique based upon the most recent four observations find new forecast for the next period. 

9. a) Compare the phase diagrams of the systems:

i)

ii)

by locating the equilibrium points and sketching the phase paths. 

b) Consider the epidemic model governed by the following equation

with initial condition at . Here x(t) is the number of susceptibles at time t, is the contact rate. The population is assumed to be closed and homogeneously mixing. Let the contact rate be 0.002 and the number of susceptibles be 5000 initially

i) Find the density of the population when the rate of appearance of new cases is maximum.

ii) Find the time (in weeks) at which the rate of appearance of new cases is maximum.

iii) Obtain the maximum rate of appearance of new cases. 

10. a) For a given set of securities, all their portfolios lie on or within the boundary of the region shown in Fig.1.

In the feasible region, find a portfolio which has maximum return. Also, find a portfolio in this region which has minimum risk.

b) Explain the method of delineating the efficient frontier of a feasible region.

c) Given all the portfolios of n securities what criterion would an investor use to select a good portfolio?

MTE 14 2025 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: MTE-14

सत्रीय कार्य कोड MTE-14/MTA/2025

अधिकतम अंक: 100

 विभीय विश्लेषण का प्रयोग करके यह दिखाइए कि यह केप्लर के तृतीय नियम का पालन करते है।

पृथ्वी की सतह से काफी ऊंचाई पर छाए बादल से वर्षा की एक बूंद गिरना प्रारंभ करती है। गिरने के दौरान बायु-प्रतिरोध के कारण बूंद मंद पड़ती जाती है। यह प्रतिरोध बूंद की तात्क्षणिक चाल के अनुक्रमानुपाती हो, तो

i)निदर्श समीकरण लिखिए।

ii) क्या यह निदर्श त्वेतिक है या गतिक? क्यों?

iii) चाल का एक व्यंजक प्राप्त कीजिए।

iv)समय t में परविर्तन के साथके व्यवहार पर चर्चा कीजिए।

ऊंचाई h वाली एक मीनार से एक पत्थर ऊर्ध्वाधरतः नीचे गिराया गया है। उसी समय एक अन्य पत्थर को मीनार के आधार से ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर वेग u से फेंका गया है। वेग uका निम्नतम मान क्या होगा जिससे कि दोनों पत्थर मध्य वायु में एक-दूसरे से मिलें?

2. क) एक विम स्लैबमें ऊष्मा चालन की समस्या लीजिए। x = 0 पर पृष्ट ऊष्मारोधी है और x = 1 पर पृष्ठ और परिवेश के बीच के तापांतर की आनुपतिक दर से ऊष्मा की हानि पर्यावरण में हो रही है। इस समस्या के सूत्रण से परिसीमा प्रतिबंधों सहित निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण प्राप्त होता हैः

जहां  तापमान है।

चर-पृथक्करण विधि से हल

प्राप्त कीजिए और निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

i) ) के समीकरण और इन समीकरणों को हल करने के लिए X(x) पर संगम प्रतिबंध ।

ii) ऊपर (i) में X(x) के लिए प्राप्त समस्या के आइगनमान और संगत आइगनफलन।

iii) हल u(x,t) 

ख)एक कप कॉफी जिसका तापमान 95°C क है, को एक कमरे में, जिसका तापमान 25°C क है, रखा गया है। दो मिनट बाद कॉफी का तापमान 70°Cसी हो जाता है। बताइए कि कॉफी का तापमान 50°C क कब होगा?

3.क) एक रोगी को एक दवा की  खुराक एक नियत समय-अंतराल t पर दी जाती है। प्रयोग से यह दिखाया गया है कि उक्त में दया का सांद्रण C निम्नलिखित नियम का पालन करता है 

i) यदि दवा की पहली खुराक समय t=0 घंटे पर दी गई हो, तो बताइए कि T घंटा बीत जाने के बाद क्या सांद्रण होगा?

ii) यह मानकर कि जब भी दवा दी जाती है तो सांदण में लाक्षणिक वृद्धि हो जाती है बताइए कि दूसरी खुराक देने और फिर से 1 घंटा बीत जाने के बाद  सांद्रण क्या होगा?

iii) दिखाइए कि T घंटे के अंतराल पर दी गई क्यूएमजी/एमएल खुराक के सांद्रण का सीमांत मान आर निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त हो जाता है: 

(ख)निम्नलिखित मांग और आपूर्ति फलनों के स्थीतिक स्थायित्व और गतिक स्थायित्व पर चर्चा कीजिए 

4.त्रिज्या बाली एक गोल कोशिका अपने परिवेश से एक पोषक लेती है और इसका उपापचयन (metabolize) करती है। यह मान लीजिए कि t > 0  के लिए r = a पर कोषिका में पोषक का  शून्य है और r < a  के लिए प्रारंभिक सांदण C_o है। इस समस्या के निदर्ष के संगत निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए किती भी क्षण पर सांद्रण  ज्ञात कीजिए और अपरिवर्ती अवस्था इल भी लिखिए।

(ख)प्रारंभ में एक झील में 100 मछलियां और उनके शिकार के लिए 1000 प्राणिप्लवक रखे गए। प्राणिप्लवकों के लिए पर्याप्त मात्रा में आहार उपलब्ध है। क्योंकि मछलियां प्राणिप्लवकों का शिकार करती हैं इसलिए मछलियों की संख्या में त्पीशीज के बीच के समागमों की संख्या की आनुपातिक दर से वृद्धि होगी। मछलियों की संख्या की आनुपातिक दर से मछलियां मरती भी जाएगी। किसी

भी समय मछलियों की वर्तमान संख्या  के की दर से मछली पकड़ने की अनुमति भी प्राप्त है। 

अपनी संख्या की आनुपातिक दर से प्राणिप्लवकों की संख्या में वृद्धि होती है और दोनों स्पीशीज के बीच के समागमों की संख्या की आनुपातिक दर से वे मरते जाते हैं। इस स्थिति का निदर्शन कीजिए।

5. मान लीजिए एक भी हुई जनसंख्या को भागों में बांटा जा सकता है। एक भाग यह है जिन्हें रोग हैं और अन्य को संक्रमित कर सकते हैं और दूसरा भाग वह जिन्हें रोग तो नहीं है, परन्तु वे रोग के प्रति सुधाही होते हैं। मान लीजिए सुग्राहय व्यक्तियों का अनुपात है और y संक्रामी व्यक्तियों का अनुपात है, और  मान लीजिए जनसंख्या में रोगी और स्वध्य व्यक्तियों के बीच संपर्क होने के कारण रोग फैलता है और लोग फैलने की दर ऐसे संपर्कों की संख्या के आनुपातिक है। यदि y_o संकालक व्यक्तियों का प्रारंभिक अनुपात हो, तो

i) दी हुई समत्या का एक गणितीय निदर्श सूत्रित कीजिए और इसे नियंत्रित करने वाला अवकल समीकरण लिखिए।

ii)ऊपर (i) में प्राप्त समीकरण के संतुलन बिन्दु ज्ञात कीजिए।

iii) दी हुई समस्या को हल कीजिए। t → ∞ होने पर रोग के प्रतार के संबंध में क्या होता है? 

ख)  एक कंपनी 12 नद प्रतिदिन की दर से मद बनाती है (चरघातांकी बंटन के जुनसार)। सेवा काल बंटन भी चरघातांकी है जिसका औसत 60 मिनट है।

i)उपयोग-गुणक परिकलित कीजिए।

ii)पंक्ति में औसत गदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

iii) पक्ति का आमाप 5 से बढ़ा था 5 के बराबर होने की प्रायिकता क्या होगी?

6. नीचे की सारणी में दो प्रतिभूतियों के प्रतिफल बंटन दिए गए हैं:

प्रतिभूत्तियों का तह-संबंध गुणांक . ज्ञात कीजिए। के इस मान से प्रत्तिभूतियों की निवेश सूचियों के समुच्ाय को निरूपित करने वाले वक्र के आकार के बारे में क्या पता चलता है? 

ख) निम्नलिखित संवृद्धि निदर्ष के संगत संवृद्धि दर का ज्यामितीय रूप में निर्वचन कीजिए  जहां  अचार हैं. जनसंख्या x(t) की पालन क्षमता है। अतः ज्ञात कीजिए कि कब संवृद्धि अधिकतम होगी।

7. क) निम्नलिखित त्रिधात लागत फलन लीजिए 

यहां यह मान लीजिए कि १ की कीमत प्रति इकाई 13 है। यह निर्गत ज्ञात कीजिए जिससे अधिकतम लाभ प्राप्त होता है।

ख) दो खिलाड़ियों की भुगतान सारणी नीचे दी गई है

प्रमुखत्ता लागू करके खेल का मान और प्रत्येक खिलाड़ी की इष्टतम मिश्रित युक्ति ज्ञात कीजिए। 

8.क) मान लीजिए पिछला पूर्वानुमान 2083 था और पिछली अवधि में इंटरेस्ट-बार का वास्तविक मान 1975 था और इंटरेस्ट का सबसे पुराना मान 1945 था। हाल ही के चार प्रेक्षणों पर आधारित गतिमान औतत तकनीक को लागू करके अगली अवधि का नया पूर्वानुमान ज्ञात कीजिए।

ख)मान लीजिए एक उपभोक्ता का उपयोगिता फलन  है। मान लीजिए ,  और इस अवधि में उपभोक्ता की आय रु. 15000/- है। उपभोक्ता के लिए आवश्यक वे मात्रा ज्ञात कीजिए जिससे कि इस संचय हाता उपभोग करने पर उसका उपयोगिता फलन अधिकतम हो जाए। 

ग) एक विशेष बत्तु उत्पादित करने वाली N अभिन्न फर्म हैं। प्रत्येक फर्म का q एकक उत्पन्न करने का लागत फलन  एकक वन है। प्रत्येक फर्म का आपूर्ति फलन ज्ञात कीजिए। मांग फलन

 है। संतुलन मूल्य भी प्राप्त कीजिए।

9. 1993 से 1998 तक के बीच एक कंपनी हाता की गई बिक्रियां नीचे दी गई है

न्यूनतम वर्ग विधि से एक रैखिक वह आतजित कीजिए। और इस तरह कंपनी हात 1999 में की गई बिक्री ज्ञात कीजिए।

ख)मान लीजिए दो प्रतिभूतियों की एक निवेश सूची है। निम्नलिखित स्थितियों में, w₁और w₂के मान ज्ञात कीजिए।

i) ρ₁₂ = −1 और p जोखिम मुक्त हो।

ii) σ₁ = σ₂और प पर प्रसरण न्यूनतम हो।

iii) p पर प्रसरण न्यूनतम हो और ρ₁₂ = − 0.5 σ₁ = 2 और σ₂ =3

10. क)एक टेलीविजन मिस्त्री, जो एक टेलीविजन की मरम्मत में औसतन  घंटे लेता है, के पास  प्रतिदिन 4 टेलीविज़न की औसत दर से टेलीविजन मरम्मत के लिए यदृच्छया आते हैं। यहां यह मान लिया गया है कि मरम्मत में लगने वाला समय चरघातांकीय बंटित है। वर्कशॉप में टेलीविजन की औसत संख्या क्या है? इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि मरम्मत के लिए आने वाले टेलीविजन के पहले कम से कम तीन टेलीविज़न रखे होगें? मिस्त्री प्रति दिन आठ घंटा काम करता है।

ख)कारण सहित उत्तर देते हुए बताइए कि निम्नलिखित समस्याओं के लिए आप किस प्रकार के निदर्शन का प्रयोग करेंगे। इन समस्याओं के चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए।

i) एक बीमा कंपनी की आर्थिक व्यवहार्यता (viability) जोखिमों का निर्धारण करने और जोखिम को संरक्षित रखने के लिए, लिए गए प्रीमियम संबंधी निर्णय पर मुख्यत निर्भर करती है। यदि प्रीमियम कम हो, तो अर्चा वसूल की गयी धनराशि से अधिक हो सकता है और ऐसी स्थिति में कंपनी दिवालिया हो सकती है। इसके विपरीत यदि प्रीसियन अधिक हो तो ग्राहकों की संख्या में कमी आती जाएगी जो कि कंपनी के लाभ को प्रभावित करेगी। विभिन्न जोखिमों के लिए प्रीमियम संबंधी निर्णय लेने में बीमा कंपनी की सहायता करना जिससे कि आर्थिक व्यवहार्यता सुनिश्चित बनी रहे और लाभ अधिकतम होता रहे।

ii) एक नदी के किनारों पर स्थित कंपनियां, जो रासायनिक पदार्थों का उत्पादन करती हैं, अपने अपशेष पदार्थों को लगातार नदी में फेंक कर निपटाती है जिसके कारण नदी अत्यधिक प्रदूषित होती जाती है। ऐसी स्थिति में स्थानीय अधिकारियों ने इस संबंध में नया कानून लागू किया है कि यदि नही प्रदूषण एक निश्चित सांदण सीमा से अधिक हो जाता है तो ऐसा करने वाली कंपनियों को जुर्माने के रूप में भारी धनराशि का भुगतान करना होगा। अपशेष को निपटाने के संबंध में एक ऐसी नीति मालूम करना जिससे कि यह सुनिश्चित किया जा सके कि प्रदूषण का स्तर कभी भी नियत की गई सीमाओं से अधिक न हो पाए।

MTE 14 2026 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: मते - 14

सत्रीय कार्य कोड: मते14/τμα/2026

अधिकतम अंक : 100

1. क) वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?

ख) अपने वर्गीकरण की पुष्टि करते हुए निम्नलिखित को रैखिक और अरैखिक निदर्शों में वर्गीकृत कीजिए

I) लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति

III) किसी समय पर अचर त्वरण और प्रारंभिक वेग यू से गतिमान एक कण के वेग का समीकरण

2. क) अपने उत्तर की पुष्टि करते हुए निम्नलिखित परिघटनाओं को असंतत अथवा संतत में वर्गीकृत कीजिए।

I) एक ट्यूमर पर विकिरण (रेडिएशन) उपचार का प्रभाव जबकि उपचार थोड़े समय के लिए परंतु नियमित अंतराल पर किया गया हो।

II) एक ट्यूमर पर रसायन औषधि के प्रभाव जबकि इन्हें एक दी हुई अवधि तक रोगी को दिया गया हो।

ख) द्रव्यमान M वाला एक कण केन्द्र से दूरी A  से विरामावस्था से प्रारंभ करके आकर्षण-केन्द्र की ओर  एक सरल रेखा में गतिमान होता है। केन्द्र से दूरी X पर इसका वेग   के अनुसार परिवर्तित करता है। बल-नियम ज्ञात कीजिए। 

ग) यदि एक ग्रह अपनी कक्षा में, जिसे वृत्ताकार माना गया है, अचानक रूक जाता हो, तो दिखाइए कि वह उस कालावधि में सूर्य में गिर जाएगा जो कि ग्रह के परिक्रमण काल का गुना है। √2 8

3. क) सरल आवर्त गति में गतिमान कण के वेग 8cm/sec और 6cm/sec होते हैं जबकि वह अपने गति-केन्द्र से क्रमशः 3cm और 4cm की दूरी पर होता है। गति का आवर्त काल और आयाम ज्ञात कीजिए।

ख) निम्नलिखित समीकरण निकाय लीजिए।
$
संगत रैखिक समीकरण-निकाय के क्रांतिक बिन्दु की प्रकृति ज्ञात कीजिए। 

ग) लंबाई l वाली डोरी के एक छोर को एक नियत बिन्दु से और दूसरे छोर को द्रव्यमान m वाली एक छड़ी से जोड़ दिया गया है। यह छड़ी अचर वेग v से एक वृत्त में चक्कर काट रही है। विमीय विश्लेषण की सहायता से डोरी में लग रहे बल का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

4. क) एक पेराशूटिसट जिसका वजन (वस्तुतः द्रव्यमान) 64 किग्रा है, जमीन से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे हेलीकाप्टर से नीचे गिरती है। वह गुरूत्व के प्रभाव के अधीन धरती की ओर गिरती है। यहां यह मान लीजिए कि गुरूत्व बल अचर है। यहां पर भी मान लीजिए कि वायु-प्रतिरोध से उत्पन्न बल पेराशूटिसट के वेग के आनुपातिक है। आनुपातिकता स्थिरांक किग्रा/सेकेंड है, जबकि पेराशूट बंद है और किग्रा/सेकेंड जबकि पेराशूट खुला होता है। यदि हेलीकाप्टर से गिरने के 1 मिनट बाद भी पेराशूट नहीं खुलता है तो बताइए कि कितने सेकेंड बाद वह धरती पर गिर जाएगी? 

ख) एक प्रक्षेप्य को दो अलग-अलग प्रक्षेप कोणों और पर एक अचर चाल v से इस तरह नियत कर दिया गया कि इससे समान परास प्राप्त हो। दिखाइए कि

5. क) जल निकाय में फाइटोप्लैंक्टन की एक विम संवृद्धि लीजिए। संवृद्धि की गतिकी का निर्धारण करने वाला निदर्श सूत्रित कीजिए, D इसका विसरण गुणांक है, r इसकी संवृद्धि दर है और R डूबने के कारण इसकी मृत्यु-दर है। यदि हम क्षेत्रफल लें, और फाइटोप्लैंक्टन का प्रारंभिक सांद्रण मान लें, तो किसी भी समय t पर में फाइटोप्लैंक्टन का सांद्रण बंटन ज्ञात कीजिए।

ख) जब एक विमान प्रस्थान से की ऊँचाई तक चढ़ता है तब उसके गुरुत्वीय आकर्षण में कितनी कमी आती है?

6. एक दिए हुए वर्ष में पैदा हुए व्यक्तियों का एक समूह लीजिए और मान लीजिए इस समूह में से t वर्ष बाद जीवित रहने वाले व्यक्तियों की संख्या n(t) है। मान लीजिए x(t) इस समूह के उन सदस्यों की संख्या है, जिन्हें t वर्ष बाद तक चेचक नहीं हुआ है और इसलिए वे अभी तक सुग्राह्य बने हुए हैं। मान लीजिए वह दर है जिससे सुग्राह्य व्यक्तियों को चेचक होता है और वह दर है जिससे चेचक से पीड़ित व्यक्तियों की मृत्यु हो जाती है। अंत में मान लीजिए कि चेचक के अतिरिक्त अन्य कारणों से व्यक्ति की मृत्यु होने की दर है। यदि dx/dt और dn/dt क्रमशः वह दर हो जिससे चेचक होने के कारण तथा अन्य कारणों से मृत्यु होने पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या और पूरी जनसंख्या में कमी आती हो, तो

i) dx/dt और dn/dt के समीकरण लिखकर ऊपर की समस्या का सूत्रण करें।

ii) लेकर यह दिखाइए कि z निम्नलिखित आदिमान समस्या को संतुष्ट करता है।
$

iii) किसी भी समय t पर z(t) का मान ज्ञात कीजिए।

iv) बर्नाली ने यह आकलित किया था कि इन मानों की सहायता से 20 वर्ष की आयु वाले उन व्यक्तियों का समानुपात ज्ञात कीजिए जिन्हें चेचक नहीं हुआ था।

7. एक एकाधिकारी कीमत ‘p’ प्रति इकाई निर्धारित करता है और मांग की गई राशि ‘q’ निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त है
मान लीजिए रू० 9 की एक नियत लागत है और रू० 1 प्रति इकाई की उपांतिक लागत है।
i) एकाधिकारी का लाभ फलन लिखिए।
ii) अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘x’ ज्ञात कीजिए। अधिकतम लाभ भी ज्ञात कीजिए।
iii) एक कार्यक्षम प्रवेशी एकाधिकारी के व्यापार में प्रवेश करता है। उसे यह विश्वास है कि एकाधिकारी ‘x’ इकाइयों का उत्पाद करता रहेगा। इस कार्यक्षम प्रवेशी का लाभ फलन लिखिए।
iv) प्रवेशी के अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘z’ ज्ञात कीजिए।
v) प्रवेशी का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए और बताइए कि उसे व्यापार में प्रवेश करना चाहिए या नहीं।
vi) प्रवेशी के व्यापार में प्रवेश करने के बाद एकाधिकारी द्वारा अर्जित किया गया लाभ ज्ञात कीजिए।

8. क) निम्नलिखित त्रिघात कुल लागत फलन लीजिए। यहां यह मान लीजिए कि q की कीमत प्रति एकक 15 है। वह उत्पादन ज्ञात कीजिए जिस पर अधिकतम लाभ प्राप्त होता है।

ख) प्रमुखता लागू करके नीचे दिए गए भुगतान आव्यूह से A और B की इष्टतम युक्तियां ज्ञात कीजिए।

ग) मान लीजिए पिछला पूर्वानुमान 2090 था और पिछली अवधि में विशेष चर का वास्तविक मान 1985 था और इसका सबसे पुराना मान 1955 था। हाल ही में किए गए चार प्रेक्षणों पर आधारित गतिमान औसत तकनीक को लागू करके अगली अवधि के लिए किया गया नया पूर्वानुमान ज्ञात कीजिए। 

9. क) साम्य बिंदुओं का पता लगाकर और प्रावस्था पथ आलेखित करके निम्नलिखित निकायों के प्रावस्था आरेखों की तुलना कीजिए :

i)

ii) (5)

ख) वह महामारी निदर्श लीजिए जो आदि प्रतिबंध पर के अधीन निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा नियंत्रित है :
$
जहां x(t) समय t पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या है, संपर्क दर है। ऐसा मान लिया गया है कि जनसंख्या संवृत्त है और लोग समांग रूप से एक दूसरे के साथ मिल-जुलकर रह रहे हैं। मान लीजिए संपर्क दर 0.002 है और सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या प्रारंभ में 5000 है।

i) जनसंख्या का घनत्व ज्ञात कीजिए जब व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।

ii) वह समय (सप्ताहों में) ज्ञात कीजिए जिसमें व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।

iii) नए रोगी बनने की अधिकतम दर प्राप्त कीजिए। 

10. क) दिए हुए प्रतिभूति समुच्चय में उनकी सभी निवेश सूचियां प्रदेश की परिसीमा पर या उसके अंदर स्थित है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।

सुसंगत प्रदेश में वह निवेश सूची ज्ञात कीजिए जिसका अधिकतम प्रतिफल हो। इस प्रदेश में वह निवेश सूची भी ज्ञात कीजिए जिसमें न्यूनतम जोखिम हो। 

ख) सुसंगत प्रदेश के दक्ष सीमांत को चित्रित करने की विधि की व्याख्या कीजिए। 

ग) यदि n प्रतिभूतियों की सभी निवेशसूचियां प्राप्त हो तो एक उत्तम निवेश सूची का चयन करने के लिए निवेशक को कौन-सा निकस अपनाना चाहिए।